Страница 126 номер 5.2.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
С помощью рисунка 20 определить, при каких значениях \(a\) уравнение \(f(x) = a\) имеет: 1) ровно один корень; 2) ровно два корня; 3) ровно три корня.
Сторона клетки равна единице. График начерчен при \(-5 \leqslant x \leqslant 5\): поднимается от точки \((-5;\ 0)\) до вершины \((-3;\ 4)\), опускается до угловой точки \((0;\ -5)\) и снова поднимается до точки \((5;\ 0)\).
Корни уравнения \(f(x) = a\) — это абсциссы общих точек графика и прямой \(y = a\).
Вершины разбивают график на три звена: от \((-5;\ 0)\) до \((-3;\ 4)\) значения возрастают от \(0\) до \(4\); от \((-3;\ 4)\) до \((0;\ -5)\) убывают от \(4\) до \(-5\); от \((0;\ -5)\) до \((5;\ 0)\) возрастают от \(-5\) до \(0\). Прямая \(y = a\) пересекает звено не более одного раза, а именно один раз тогда, когда \(a\) лежит между значениями на концах звена.
1) При \(a = 4\) прямая проходит через вершину \((-3;\ 4)\), и выше неё точек графика нет; при \(a = -5\) — через угловую точку \((0;\ -5)\), ниже которой точек графика тоже нет. Ровно один корень при \(a = -5\) и при \(a = 4\).
2) При \(0 < a < 4\) прямая пересекает первое и второе звенья, а третьего не достигает, потому что на нём все значения не больше нуля, — две точки. При \(-5 < a < 0\) прямая пересекает второе и третье звенья, а первого не достигает, так как на нём все значения не меньше нуля, — снова две точки. Ровно два корня при \(-5 < a < 0\) и при \(0 < a < 4\).
3) При \(a = 0\) прямая совпадает с осью \(x\) и проходит через три точки графика: \((-5;\ 0)\), \((-1;\ 0)\) и \((5;\ 0)\). Ровно три корня при \(a = 0\).
При \(a > 4\) и при \(a < -5\) общих точек нет, корней у уравнения нет.
Ответ: 1) \(a = -5\) и \(a = 4\); 2) \(-5 < a < 0\) и \(0 < a < 4\); 3) \(a = 0\).
С помощью рисунка 20 определить, при каких значениях \(a\) уравнение \(f(x) = a\) имеет: 1) ровно один корень; 2) ровно два корня; 3) ровно три корня.
Сторона клетки на рисунке равна единице. График начерчен при \(-5 \leqslant x \leqslant 5\): он поднимается от точки \((-5;\ 0)\) до вершины \((-3;\ 4)\), опускается до угловой точки \((0;\ -5)\) и снова поднимается до точки \((5;\ 0)\).
Корни уравнения \(f(x) = a\) — это абсциссы точек пересечения графика \(y = f(x)\) с горизонтальной прямой \(y = a\), проходящей через точку \((0;\ a)\). Значит, надо выяснить, сколько общих точек с графиком имеет такая прямая при разных \(a\).
График разбивается вершинами на три звена, на каждом из которых функция меняется в одну сторону:
на звене от \((-5;\ 0)\) до \((-3;\ 4)\) значения возрастают от \(0\) до \(4\);
на звене от \((-3;\ 4)\) до \((0;\ -5)\) значения убывают от \(4\) до \(-5\);
на звене от \((0;\ -5)\) до \((5;\ 0)\) значения возрастают от \(-5\) до \(0\).
Прямая \(y = a\) пересекает каждое звено не более одного раза, а именно один раз тогда, когда \(a\) лежит между значениями на концах звена.
1) Ровно одна общая точка получается при \(a = 4\) (прямая проходит через вершину \((-3;\ 4)\) и других общих точек с графиком не имеет: выше этой прямой точек графика нет) и при \(a = -5\) (прямая проходит через угловую точку \((0;\ -5)\), ниже которой точек графика тоже нет). Уравнение имеет ровно один корень при \(a = -5\) и при \(a = 4\).
2) При \(0 < a < 4\) прямая пересекает первое и второе звенья, а третьего не достигает, потому что на нём все значения не больше нуля, — получаются две точки. При \(-5 < a < 0\) прямая пересекает второе и третье звенья, а первого не достигает, так как на нём все значения не меньше нуля, — снова две точки. Уравнение имеет ровно два корня при \(-5 < a < 0\) и при \(0 < a < 4\).
3) При \(a = 0\) прямая совпадает с осью \(x\) и проходит через три точки графика: \((-5;\ 0)\), \((-1;\ 0)\) и \((5;\ 0)\). Уравнение имеет ровно три корня при \(a = 0\).
При \(a > 4\) и при \(a < -5\) прямая \(y = a\) с графиком общих точек не имеет, и корней у уравнения нет.
Ответ: 1) \(a = -5\) и \(a = 4\); 2) \(-5 < a < 0\) и \(0 < a < 4\); 3) \(a = 0\).
