Страница 124 номер 5.2.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) При \(x \leqslant 1\): \(y = x^2 + 2x\), ветви вверх (\(a = 1 > 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\); \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1\).
Вершина \((-1;\ -1)\). Нули: \(x^2 + 2x = 0\), \(x(x + 2) = 0\), \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 1\) график — горизонтальный луч \(y = 3\). При \(x = 1\) первая формула даёт \(1^2 + 2 \cdot 1 = 3\) — то же значение, поэтому линия не разрывается и точка стыка \((1;\ 3)\) графику принадлежит.
2) При \(x \leqslant -1\) график — горизонтальный луч \(y = 5\), идущий влево.
При \(x > -1\): \(y = x^2 - 4x\), ветви вверх (\(a = 1 > 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\).
Вершина \((2;\ -4)\). Нули: \(x^2 - 4x = 0\), \(x(x - 4) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = -1\) вторая формула даёт \((-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\) — столько же, сколько первая, поэтому линия не разрывается и точка стыка \((-1;\ 5)\) графику принадлежит.
3) При \(x < 0\): \(y = -x^2 - 2x\), ветви вниз (\(a = -1 < 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\); \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1\).
Вершина \((-1;\ 1)\), нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -3 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
При \(x \geqslant 0\): \(y = -x^2 + 2x\), ветви тоже вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\); \(y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1\).
Вершина \((1;\ 1)\), нули \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = 0\) обе формулы дают нуль, поэтому линия не разрывается: график состоит из двух дуг парабол, сходящихся в начале координат.
4) При \(x \geqslant 0\): \(y = 3x - x^2\), ветви вниз (\(a = -1 < 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\); \(y_0 = 3 \cdot 1{,}5 - (1{,}5)^2 = 4{,}5 - 2{,}25 = 2{,}25\).
Вершина \((1{,}5;\ 2{,}25)\), нули \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 2{,}25 & 0 & -4 \\ \hline \end{array}\]
При \(x < 0\): \(y = -x^2 - 3x\), ветви тоже вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5\); \(y_0 = -(-1{,}5)^2 - 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25\).
Вершина \((-1{,}5;\ 2{,}25)\), нули \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -1{,}5 & 0 \\ \hline y & -4 & 0 & 2{,}25 & 0 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = 0\) обе формулы дают нуль, поэтому линия не разрывается: получаются две дуги парабол, симметричные относительно оси \(y\) и сходящиеся в начале координат.
5) При \(x \leqslant -3\) и при \(x > 3\) график — горизонтальные лучи \(y = 5\).
При \(-3 < x \leqslant 3\): \(y = x^2 - 4\) — парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 4 единицы вниз; ветви вверх, вершина \((0;\ -4)\), нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
На концах промежутка \((-3;\ 3]\) формула даёт \((-3)^2 - 4 = 5\) и \(3^2 - 4 = 5\) — те же значения, что и лучи, поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-3;\ 5)\) и \((3;\ 5)\) графику принадлежат.
6) При \(x < -3\) и при \(x \geqslant 3\) график — горизонтальные лучи \(y = -5\).
При \(-3 \leqslant x < 3\): \(y = 4 - x^2\), ветви вниз (\(a = -1 < 0\)), вершина \((0;\ 4)\), нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}\]
На концах промежутка \([-3;\ 3)\) формула даёт \(4 - (-3)^2 = -5\) и \(4 - 3^2 = -5\) — те же значения, что и лучи, поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-3;\ -5)\) и \((3;\ -5)\) графику принадлежат.
7) При \(x \leqslant -2\) график — луч прямой \(y = 1 - x\): при \(x = -4\) получаем \(y = 1 + 4 = 5\), при \(x = -2\) получаем \(y = 1 + 2 = 3\).
При \(-2 < x \leqslant 0\): \(y = 3 - 2x - x^2\), ветви вниз (\(a = -1 < 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\); \(y_0 = 3 - 2 \cdot (-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4\).
Вершина \((-1;\ 4)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 3 & 4 & 3 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 0\) график — горизонтальный луч \(y = 3\).
В точке \(x = -2\) обе соседние формулы дают \(3\), в точке \(x = 0\) они тоже обе дают \(3\), поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-2;\ 3)\) и \((0;\ 3)\) графику принадлежат.
8) При \(x \leqslant 1\) график — луч прямой \(y = x + 3\): при \(x = -3\) получаем \(y = 0\), при \(x = 1\) получаем \(y = 4\).
При \(1 < x \leqslant 4\): \(y = x^2 - 4x + 7\), ветви вверх (\(a = 1 > 0\)).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\).
Вершина \((2;\ 3)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 3 & 4 & 7 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 4\) график — горизонтальный луч \(y = 7\).
В точке \(x = 1\) обе соседние формулы дают \(4\), в точке \(x = 4\) они обе дают \(7\), поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((1;\ 4)\) и \((4;\ 7)\) графику принадлежат.
1) При \(x \leqslant 1\) функция задана формулой \(y = x^2 + 2x\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\); \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1\).
Вершина параболы — точка \((-1;\ -1)\). Нули: \(x^2 + 2x = 0\), \(x(x + 2) = 0\), отсюда \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 1\) график — горизонтальный луч \(y = 3\). В точке \(x = 1\) первая формула даёт \(1^2 + 2 \cdot 1 = 3\), то есть то же значение, поэтому линия не разрывается и точка стыка \((1;\ 3)\) графику принадлежит.
2) При \(x \leqslant -1\) график — горизонтальный луч \(y = 5\), идущий влево.
При \(x > -1\) функция задана формулой \(y = x^2 - 4x\); ветви параболы направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\).
Вершина параболы — точка \((2;\ -4)\). Нули: \(x^2 - 4x = 0\), \(x(x - 4) = 0\), отсюда \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = -1\) вторая формула даёт \((-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\) — столько же, сколько первая, поэтому линия не разрывается и точка стыка \((-1;\ 5)\) графику принадлежит.
3) При \(x < 0\) функция задана формулой \(y = -x^2 - 2x\); ветви параболы направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\); \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1\).
Вершина этой параболы — точка \((-1;\ 1)\); её нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -3 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
При \(x \geqslant 0\) функция задана формулой \(y = -x^2 + 2x\); ветви тоже направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\); \(y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1\).
Вершина этой параболы — точка \((1;\ 1)\); её нули \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}\]
В точке \(x = 0\) обе формулы дают нуль, поэтому линия не разрывается: график состоит из двух дуг парабол, сходящихся в начале координат.
4) При \(x \geqslant 0\) функция задана формулой \(y = 3x - x^2\); ветви параболы направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\); \(y_0 = 3 \cdot 1{,}5 - (1{,}5)^2 = 4{,}5 - 2{,}25 = 2{,}25\).
Вершина этой параболы — точка \((1{,}5;\ 2{,}25)\); её нули \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 2{,}25 & 0 & -4 \\ \hline \end{array}\]
При \(x < 0\) функция задана формулой \(y = -x^2 - 3x\); ветви тоже направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5\); \(y_0 = -(-1{,}5)^2 - 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25\).
Вершина этой параболы — точка \((-1{,}5;\ 2{,}25)\); её нули \(x_1 = -3\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -1{,}5 & 0 \\ \hline y & -4 & 0 & 2{,}25 & 0 \\ \hline \end{array}\]
В точке \(x = 0\) обе формулы дают нуль, поэтому линия не разрывается: получаются две дуги парабол, симметричные относительно оси \(y\) и сходящиеся в начале координат.
5) При \(x \leqslant -3\) и при \(x > 3\) график — горизонтальные лучи \(y = 5\).
При \(-3 < x \leqslant 3\) функция задана формулой \(y = x^2 - 4\). Это парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 4 единицы вниз; ветви направлены вверх, вершина — точка \((0;\ -4)\), нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
На концах промежутка \((-3;\ 3]\) формула \(y = x^2 - 4\) даёт \((-3)^2 - 4 = 5\) и \(3^2 - 4 = 5\) — те же значения, что и лучи, поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-3;\ 5)\) и \((3;\ 5)\) графику принадлежат.
6) При \(x < -3\) и при \(x \geqslant 3\) график — горизонтальные лучи \(y = -5\).
При \(-3 \leqslant x < 3\) функция задана формулой \(y = 4 - x^2\); ветви параболы направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\). Вершина — точка \((0;\ 4)\), нули \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}\]
На концах промежутка \([-3;\ 3)\) формула \(y = 4 - x^2\) даёт \(4 - (-3)^2 = -5\) и \(4 - 3^2 = -5\) — те же значения, что и лучи, поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-3;\ -5)\) и \((3;\ -5)\) графику принадлежат.
7) При \(x \leqslant -2\) график — луч прямой \(y = 1 - x\). Возьмём на нём две точки: при \(x = -4\) получаем \(y = 1 + 4 = 5\), при \(x = -2\) получаем \(y = 1 + 2 = 3\).
При \(-2 < x \leqslant 0\) функция задана формулой \(y = 3 - 2x - x^2\); ветви параболы направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\); \(y_0 = 3 - 2 \cdot (-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4\).
Вершина параболы — точка \((-1;\ 4)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 3 & 4 & 3 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 0\) график — горизонтальный луч \(y = 3\).
В точке \(x = -2\) обе соседние формулы дают \(3\), в точке \(x = 0\) они тоже обе дают \(3\), поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((-2;\ 3)\) и \((0;\ 3)\) графику принадлежат.
8) При \(x \leqslant 1\) график — луч прямой \(y = x + 3\). Возьмём на нём две точки: при \(x = -3\) получаем \(y = 0\), при \(x = 1\) получаем \(y = 4\).
При \(1 < x \leqslant 4\) функция задана формулой \(y = x^2 - 4x + 7\); ветви параболы направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\).
Вершина параболы — точка \((2;\ 3)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 3 & 4 & 7 \\ \hline \end{array}\]
При \(x > 4\) график — горизонтальный луч \(y = 7\).
В точке \(x = 1\) обе соседние формулы дают \(4\), в точке \(x = 4\) они обе дают \(7\), поэтому линия не разрывается, а точки стыка \((1;\ 4)\) и \((4;\ 7)\) графику принадлежат.
