Страница 124 номер 5.2.44, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) \(y = 2x^2 - 3x + 1\), \(a = 2 > 0\) — ветви вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = 0{,}75\);
\(y_0 = 2 \cdot (0{,}75)^2 - 3 \cdot 0{,}75 + 1 = 1{,}125 - 2{,}25 + 1 = -0{,}125\).
Вершина \((0{,}75;\ -0{,}125)\), ось симметрии \(x = 0{,}75\).
Нули: \(2x^2 - 3x + 1 = 0\), \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1\), \(x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1\). Ось \(x\) парабола пересекает в точках \((0{,}5;\ 0)\) и \((1;\ 0)\), ось \(y\) — в точке \((0;\ 1)\).
Точки, симметричные относительно прямой \(x = 0{,}75\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 3 & 1 & 0 & -0{,}125 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}\]
2) \(y = 2x^2 + 5x - 2\), \(a = 2 > 0\) — ветви вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1{,}25\);
\(y_0 = 2 \cdot (-1{,}25)^2 + 5 \cdot (-1{,}25) - 2 = 3{,}125 - 6{,}25 - 2 = -5{,}125\).
Вершина \((-1{,}25;\ -5{,}125)\), ось симметрии \(x = -1{,}25\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ -2)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1{,}25 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline y & 1 & -4 & -5{,}125 & -4 & 1 \\ \hline \end{array}\]
3) \(y = -2x^2 - 5x + 2\), \(a = -2 < 0\) — ветви вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -1{,}25\);
\(y_0 = -2 \cdot (-1{,}25)^2 - 5 \cdot (-1{,}25) + 2 = -3{,}125 + 6{,}25 + 2 = 5{,}125\).
Вершина \((-1{,}25;\ 5{,}125)\), ось симметрии \(x = -1{,}25\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 2)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1{,}25 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline y & -1 & 4 & 5{,}125 & 4 & -1 \\ \hline \end{array}\]
4) \(y = -2x^2 + 3x - 2\), \(a = -2 < 0\) — ветви вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = 0{,}75\);
\(y_0 = -2 \cdot (0{,}75)^2 + 3 \cdot 0{,}75 - 2 = -1{,}125 + 2{,}25 - 2 = -0{,}875\).
Вершина \((0{,}75;\ -0{,}875)\), ось симметрии \(x = 0{,}75\). Наибольшее значение функции равно \(-0{,}875\), то есть все значения функции отрицательны, и парабола целиком лежит ниже оси \(x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & -4 & -2 & -1 & -0{,}875 & -1 & -2 & -4 \\ \hline \end{array}\]
5) \(y = \frac{1}{2}x^2 + x - 1\), \(a = \frac{1}{2} > 0\) — ветви вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1\);
\(y_0 = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + (-1) - 1 = 0{,}5 - 1 - 1 = -1{,}5\).
Вершина \((-1;\ -1{,}5)\), ось симметрии \(x = -1\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ -1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -1 & 0{,}5 & 3 \\ \hline \end{array}\]
6) \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1\), \(a = \frac{1}{2} > 0\) — ветви вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2\);
\(y_0 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\).
Вершина \((2;\ -1)\), ось симметрии \(x = 2\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 3{,}5 & 1 & -0{,}5 & -1 & -0{,}5 & 1 & 3{,}5 \\ \hline \end{array}\]
7) \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 3\), \(a = -\frac{1}{2} < 0\) — ветви вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2\);
\(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1\).
Вершина \((2;\ -1)\), ось симметрии \(x = 2\). Наибольшее значение функции равно \(-1\), поэтому парабола целиком лежит ниже оси \(x\); ось \(y\) она пересекает в точке \((0;\ -3)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -5{,}5 & -3 & -1{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & -5{,}5 \\ \hline \end{array}\]
8) \(y = -\frac{1}{2}x^2 - x + 1\), \(a = -\frac{1}{2} < 0\) — ветви вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = -1\);
\(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - (-1) + 1 = -0{,}5 + 1 + 1 = 1{,}5\).
Вершина \((-1;\ 1{,}5)\), ось симметрии \(x = -1\); ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -3 & -0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 1 & -0{,}5 & -3 \\ \hline \end{array}\]
Ответ: 1) парабола с вершиной \((0{,}75;\ -0{,}125)\), ветви вверх; 2) парабола с вершиной \((-1{,}25;\ -5{,}125)\), ветви вверх; 3) парабола с вершиной \((-1{,}25;\ 5{,}125)\), ветви вниз; 4) парабола с вершиной \((0{,}75;\ -0{,}875)\), ветви вниз; 5) парабола с вершиной \((-1;\ -1{,}5)\), ветви вверх; 6) парабола с вершиной \((2;\ -1)\), ветви вверх; 7) парабола с вершиной \((2;\ -1)\), ветви вниз; 8) парабола с вершиной \((-1;\ 1{,}5)\), ветви вниз.
1) \(y = 2x^2 - 3x + 1\). Старший коэффициент \(a = 2 > 0\), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Абсцисса вершины: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = 0{,}75\).
Ордината вершины: \(y_0 = 2 \cdot (0{,}75)^2 - 3 \cdot 0{,}75 + 1 = 1{,}125 - 2{,}25 + 1 = -0{,}125\).
Вершина параболы — точка \((0{,}75;\ -0{,}125)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}75\).
Нули функции найдём из уравнения \(2x^2 - 3x + 1 = 0\). Его дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1\), корни \(x_1 = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5\) и \(x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1\). Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((0{,}5;\ 0)\) и \((1;\ 0)\), а ось \(y\) — в точке \((0;\ 1)\).
Возьмём точки, симметричные относительно прямой \(x = 0{,}75\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 3 & 1 & 0 & -0{,}125 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}\]
2) \(y = 2x^2 + 5x - 2\). Здесь \(a = 2 > 0\), ветви параболы направлены вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -1{,}25\);
\(y_0 = 2 \cdot (-1{,}25)^2 + 5 \cdot (-1{,}25) - 2 = 3{,}125 - 6{,}25 - 2 = -5{,}125\).
Вершина параболы — точка \((-1{,}25;\ -5{,}125)\), ось симметрии — прямая \(x = -1{,}25\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ -2)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1{,}25 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline y & 1 & -4 & -5{,}125 & -4 & 1 \\ \hline \end{array}\]
3) \(y = -2x^2 - 5x + 2\). Здесь \(a = -2 < 0\), ветви параболы направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -1{,}25\);
\(y_0 = -2 \cdot (-1{,}25)^2 - 5 \cdot (-1{,}25) + 2 = -3{,}125 + 6{,}25 + 2 = 5{,}125\).
Вершина параболы — точка \((-1{,}25;\ 5{,}125)\), ось симметрии — прямая \(x = -1{,}25\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 2)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1{,}25 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline y & -1 & 4 & 5{,}125 & 4 & -1 \\ \hline \end{array}\]
4) \(y = -2x^2 + 3x - 2\). Здесь \(a = -2 < 0\), ветви параболы направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = 0{,}75\);
\(y_0 = -2 \cdot (0{,}75)^2 + 3 \cdot 0{,}75 - 2 = -1{,}125 + 2{,}25 - 2 = -0{,}875\).
Вершина параболы — точка \((0{,}75;\ -0{,}875)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}75\). Наибольшее значение функции равно \(-0{,}875\), то есть все значения функции отрицательны, и парабола целиком лежит ниже оси \(x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & -4 & -2 & -1 & -0{,}875 & -1 & -2 & -4 \\ \hline \end{array}\]
5) \(y = \frac{1}{2}x^2 + x - 1\). Здесь \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви параболы направлены вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1\);
\(y_0 = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 + (-1) - 1 = 0{,}5 - 1 - 1 = -1{,}5\).
Вершина параболы — точка \((-1;\ -1{,}5)\), ось симметрии — прямая \(x = -1\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ -1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -1 & 0{,}5 & 3 \\ \hline \end{array}\]
6) \(y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1\). Здесь \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви параболы направлены вверх.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2\);
\(y_0 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\).
Вершина параболы — точка \((2;\ -1)\), ось симметрии — прямая \(x = 2\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 3{,}5 & 1 & -0{,}5 & -1 & -0{,}5 & 1 & 3{,}5 \\ \hline \end{array}\]
7) \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 3\). Здесь \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви параболы направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2\);
\(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1\).
Вершина параболы — точка \((2;\ -1)\), ось симметрии — прямая \(x = 2\). Наибольшее значение функции равно \(-1\), поэтому парабола целиком лежит ниже оси \(x\); ось \(y\) она пересекает в точке \((0;\ -3)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -5{,}5 & -3 & -1{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & -5{,}5 \\ \hline \end{array}\]
8) \(y = -\frac{1}{2}x^2 - x + 1\). Здесь \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви параболы направлены вниз.
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = -1\);
\(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - (-1) + 1 = -0{,}5 + 1 + 1 = 1{,}5\).
Вершина параболы — точка \((-1;\ 1{,}5)\), ось симметрии — прямая \(x = -1\). Ось \(y\) парабола пересекает в точке \((0;\ 1)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -3 & -0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 1 & -0{,}5 & -3 \\ \hline \end{array}\]
Ответ: 1) парабола с вершиной \((0{,}75;\ -0{,}125)\), ветви вверх; 2) парабола с вершиной \((-1{,}25;\ -5{,}125)\), ветви вверх; 3) парабола с вершиной \((-1{,}25;\ 5{,}125)\), ветви вниз; 4) парабола с вершиной \((0{,}75;\ -0{,}875)\), ветви вниз; 5) парабола с вершиной \((-1;\ -1{,}5)\), ветви вверх; 6) парабола с вершиной \((2;\ -1)\), ветви вверх; 7) парабола с вершиной \((2;\ -1)\), ветви вниз; 8) парабола с вершиной \((-1;\ 1{,}5)\), ветви вниз.
