Страница 122 номер 5.2.38, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Каковы должны быть длина и ширина прямоугольника с периметром 24 см, чтобы его площадь была максимальной?
Дано:
прямоугольник
\(P = 24\) см
Найти: длину и ширину, при которых площадь прямоугольника наибольшая.
Решение:
\(24 : 2 = 12\) (см) — сумма длины и ширины прямоугольника.
Пусть длина равна \(x\) см, тогда ширина равна \((12 - x)\) см, причём \(0 < x < 12\). Площадь \(S = x(12 - x) = -x^2 + 12x\) (см\(^2\)).
Старший коэффициент \(a = -1 < 0\), ветви параболы направлены вниз, поэтому наибольшее значение функция принимает в вершине:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6.\]
Значение \(x = 6\) принадлежит промежутку \(0 < x < 12\).
\(12 - 6 = 6\) (см) — ширина прямоугольника.
\(6 \cdot 6 = 36\) (см\(^2\)) — наибольшая площадь.
Ответ: длина 6 см и ширина 6 см, наибольшая площадь равна 36 см\(^2\).
Каковы должны быть длина и ширина прямоугольника с периметром 24 см, чтобы его площадь была максимальной?
Дано:
прямоугольник
\(P = 24\) см
Найти: длину и ширину, при которых площадь прямоугольника наибольшая.
Решение:
\(24 : 2 = 12\) (см) — сумма длины и ширины прямоугольника.
Пусть длина равна \(x\) см, тогда ширина равна \((12 - x)\) см, причём \(0 < x < 12\). Площадь прямоугольника равна \(S = x(12 - x) = -x^2 + 12x\) (см\(^2\)).
Это квадратичная функция переменной \(x\) со старшим коэффициентом \(a = -1 < 0\). Ветви её параболы направлены вниз, поэтому наибольшее значение функция принимает в вершине параболы:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6.\]
Значение \(x = 6\) принадлежит промежутку \(0 < x < 12\).
\(12 - 6 = 6\) (см) — ширина прямоугольника.
\(6 \cdot 6 = 36\) (см\(^2\)) — наибольшая площадь.
Ответ: длина 6 см и ширина 6 см, наибольшая площадь равна 36 см\(^2\).
