Страница 122 номер 5.2.37, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти два таких числа, среди которых одно на 6 больше другого, а разность кубов большего и меньшего чисел минимальна.
Пусть меньшее число равно \(x\), тогда большее равно \(x + 6\): оно на 6 больше меньшего. Разность кубов равна \((x + 6)^3 - x^3\). Раскроем куб суммы:
\[(x + 6)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 6 + 3x \cdot 36 + 216 = x^3 + 18x^2 + 108x + 216.\]
Кубы взаимно уничтожаются:
\[R = x^3 + 18x^2 + 108x + 216 - x^3 = 18x^2 + 108x + 216.\]
Старший коэффициент \(a = 18 > 0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{108}{2 \cdot 18} = -3.\]
\(-3 + 6 = 3\) — большее число.
\(18 \cdot (-3)^2 + 108 \cdot (-3) + 216 = 162 - 324 + 216 = 54\) — наименьшая разность кубов.
Ответ: числа \(-3\) и 3, наименьшая разность их кубов равна 54.
Найти два таких числа, среди которых одно на 6 больше другого, а разность кубов большего и меньшего чисел минимальна.
Пусть меньшее число равно \(x\), тогда большее число равно \(x + 6\): оно на 6 больше меньшего. Разность кубов большего и меньшего чисел равна \((x + 6)^3 - x^3\). Раскроем куб суммы:
\[(x + 6)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 6 + 3x \cdot 36 + 216 = x^3 + 18x^2 + 108x + 216.\]
Кубы взаимно уничтожаются, и разность кубов оказывается квадратным трёхчленом:
\[R = x^3 + 18x^2 + 108x + 216 - x^3 = 18x^2 + 108x + 216.\]
Старший коэффициент \(a = 18 > 0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине параболы:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{108}{2 \cdot 18} = -3.\]
Большее число равно \(-3 + 6 = 3\), а наименьшая разность кубов равна \(18 \cdot (-3)^2 + 108 \cdot (-3) + 216 = 162 - 324 + 216 = 54\).
Ответ: числа \(-3\) и 3, наименьшая разность их кубов равна 54.
