Страница 122 номер 5.2.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти два таких числа, сумма которых равна 5, а сумма их кубов минимальна.
Пусть первое число равно \(x\), тогда второе равно \(5 - x\): их сумма равна 5. Сумма кубов равна \(x^3 + (5 - x)^3\). Раскроем куб разности:
\[(5 - x)^3 = 125 - 3 \cdot 25x + 3 \cdot 5x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3.\]
Кубы взаимно уничтожаются:
\[S = x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 15x^2 - 75x + 125.\]
Старший коэффициент \(a = 15 > 0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-75}{2 \cdot 15} = 2{,}5.\]
\(5 - 2{,}5 = 2{,}5\) — второе число.
\(15 \cdot 2{,}5^2 - 75 \cdot 2{,}5 + 125 = 93{,}75 - 187{,}5 + 125 = 31{,}25\) — наименьшая сумма кубов.
Ответ: оба числа равны 2,5, наименьшая сумма их кубов равна \(31{,}25\).
Найти два таких числа, сумма которых равна 5, а сумма их кубов минимальна.
Пусть первое число равно \(x\), тогда второе число равно \(5 - x\): их сумма равна 5. Сумма кубов этих чисел равна \(x^3 + (5 - x)^3\). Раскроем куб разности:
\[(5 - x)^3 = 125 - 3 \cdot 25x + 3 \cdot 5x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3.\]
Кубы взаимно уничтожаются, и сумма кубов оказывается квадратным трёхчленом:
\[S = x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 15x^2 - 75x + 125.\]
Старший коэффициент \(a = 15 > 0\), ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине параболы:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-75}{2 \cdot 15} = 2{,}5.\]
Второе число равно \(5 - 2{,}5 = 2{,}5\), а наименьшая сумма кубов равна \(15 \cdot 2{,}5^2 - 75 \cdot 2{,}5 + 125 = 93{,}75 - 187{,}5 + 125 = 31{,}25\).
Ответ: оба числа равны 2,5, наименьшая сумма их кубов равна \(31{,}25\).
