Страница 122 номер 5.2.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В одной системе координат построить графики функций \(y = x^2 - 2\) и \(y = 2 - 3x\). С их помощью решить неравенство: 1) \(x^2 - 2 \le 2 - 3x\); 2) \(x^2 - 2 > 2 - 3x\).
Строим параболу \(y = x^2 - 2\) (перенос параболы \(y = x^2\) вдоль оси \(y\) на 2 единицы вниз) и прямую \(y = 2 - 3x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 14 & 7 & 2 & -1 & -2 & -1 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 2)\) и \((2;\ -4)\).
Абсциссы общих точек — корни уравнения \(x^2 - 2 = 2 - 3x\), то есть \(x^2 + 3x - 4 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25\), корни \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 1\). Общие точки — \((-4;\ 14)\) и \((1;\ -1)\).
1) Между общими точками и в самих этих точках парабола идёт не выше прямой, поэтому решения неравенства \(x^2 - 2 \leqslant 2 - 3x\) — это \(-4 \leqslant x \leqslant 1\).
2) Левее общей точки с абсциссой \(-4\) и правее общей точки с абсциссой 1 парабола идёт строго выше прямой, поэтому решения неравенства \(x^2 - 2 > 2 - 3x\) — это \(x < -4\) и \(x > 1\).
Ответ: 1) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\); 2) \(x < -4\), \(x > 1\).
В одной системе координат построить графики функций \(y = x^2 - 2\) и \(y = 2 - 3x\). С их помощью решить неравенство: 1) \(x^2 - 2 \le 2 - 3x\); 2) \(x^2 - 2 > 2 - 3x\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2 - 2\) и прямую \(y = 2 - 3x\). Парабола \(y = x^2 - 2\) получается из параболы \(y = x^2\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на 2 единицы вниз.
Значения функции \(y = x^2 - 2\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 14 & 7 & 2 & -1 & -2 & -1 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 2 - 3x\) проходит через точки \((0;\ 2)\) и \((2;\ -4)\).
Абсциссы общих точек параболы и прямой — корни уравнения \(x^2 - 2 = 2 - 3x\), то есть \(x^2 + 3x - 4 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25\), корни \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 1\). Общие точки — \((-4;\ 14)\) и \((1;\ -1)\).
1) Неравенство \(x^2 - 2 \leqslant 2 - 3x\) выполняется там, где точки параболы лежат не выше точек прямой, то есть между общими точками и в самих этих точках. Значит, решения неравенства — \(-4 \leqslant x \leqslant 1\).
2) Неравенство \(x^2 - 2 > 2 - 3x\) выполняется там, где точки параболы лежат строго выше точек прямой, то есть левее общей точки с абсциссой \(-4\) и правее общей точки с абсциссой 1. Значит, решения неравенства — \(x < -4\) и \(x > 1\).
Ответ: 1) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\); 2) \(x < -4\), \(x > 1\).
