Страница 121 номер 5.2.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В одной системе координат построить графики функций \(y = x^2\) и \(y = 2x + 3\). С их помощью решить неравенство: 1) \(x^2 \ge 2x + 3\); 2) \(x^2 < 2x + 3\).
Строим параболу \(y = x^2\) и прямую \(y = 2x + 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 3)\) и \((2;\ 7)\).
Абсциссы общих точек — корни уравнения \(x^2 = 2x + 3\), то есть \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16\), корни \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 3\). Общие точки — \((-1;\ 1)\) и \((3;\ 9)\).
1) Левее общей точки с абсциссой \(-1\) и правее общей точки с абсциссой 3 парабола идёт выше прямой, а в самих этих точках их ординаты равны, поэтому решения неравенства \(x^2 \geqslant 2x + 3\) — это \(x \leqslant -1\) и \(x \geqslant 3\).
2) Между общими точками парабола идёт строго ниже прямой, поэтому решения неравенства \(x^2 < 2x + 3\) — это \(-1 < x < 3\).
Ответ: 1) \(x \leqslant -1\), \(x \geqslant 3\); 2) \(-1 < x < 3\).
В одной системе координат построить графики функций \(y = x^2\) и \(y = 2x + 3\). С их помощью решить неравенство: 1) \(x^2 \ge 2x + 3\); 2) \(x^2 < 2x + 3\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2\) и прямую \(y = 2x + 3\).
Значения функции \(y = x^2\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 2x + 3\) проходит через точки \((0;\ 3)\) и \((2;\ 7)\).
Абсциссы общих точек параболы и прямой — корни уравнения \(x^2 = 2x + 3\), то есть \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16\), корни \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 3\). Общие точки — \((-1;\ 1)\) и \((3;\ 9)\).
1) Неравенство \(x^2 \geqslant 2x + 3\) выполняется там, где точки параболы лежат не ниже точек прямой. Левее общей точки с абсциссой \(-1\) и правее общей точки с абсциссой 3 парабола идёт выше прямой, а в самих этих точках их ординаты равны. Значит, решения неравенства — \(x \leqslant -1\) и \(x \geqslant 3\).
2) Неравенство \(x^2 < 2x + 3\) выполняется там, где точки параболы лежат строго ниже точек прямой, то есть между общими точками. Значит, решения неравенства — \(-1 < x < 3\).
Ответ: 1) \(x \leqslant -1\), \(x \geqslant 3\); 2) \(-1 < x < 3\).
