Страница 121 номер 5.2.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Выяснить, возрастает или убывает квадратичная функция \(y = x^2 - 2x + 1\) на промежутке: 1) \(x < 0\); 2) \(2 \le x \le 3\); 3) \(-1 < x < 1\); 4) \(x \ge 2\).
Старший коэффициент \(a = 1 > 0\), ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1;\] \[y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0.\]
Вершина — точка \((1;\ 0)\), поэтому функция убывает при \(x \leqslant 1\) и возрастает при \(x \geqslant 1\).
1) Промежуток \(x < 0\) лежит в промежутке \(x \leqslant 1\), значит, функция на нём убывает.
2) Промежуток \(2 \leqslant x \leqslant 3\) лежит в промежутке \(x \geqslant 1\), значит, функция на нём возрастает.
3) Промежуток \(-1 < x < 1\) лежит в промежутке \(x \leqslant 1\), значит, функция на нём убывает.
4) Промежуток \(x \geqslant 2\) лежит в промежутке \(x \geqslant 1\), значит, функция на нём возрастает.
Ответ: функция \(y = x^2 - 2x + 1\) возрастает на промежутках 2) и 4), убывает на промежутках 1) и 3).
Выяснить, возрастает или убывает квадратичная функция \(y = x^2 - 2x + 1\) на промежутке: 1) \(x < 0\); 2) \(2 \le x \le 3\); 3) \(-1 < x < 1\); 4) \(x \ge 2\).
У функции \(y = x^2 - 2x + 1\) старший коэффициент \(a = 1 > 0\), поэтому её график — парабола с ветвями вверх. Найдём координаты вершины:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1;\] \[y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0.\]
Вершина параболы — точка \((1;\ 0)\). Левее вершины парабола с ветвями вверх опускается, а правее поднимается, поэтому функция убывает при \(x \leqslant 1\) и возрастает при \(x \geqslant 1\).
1) Промежуток \(x < 0\) целиком лежит в промежутке \(x \leqslant 1\), значит, функция на нём убывает.
2) Промежуток \(2 \leqslant x \leqslant 3\) целиком лежит в промежутке \(x \geqslant 1\), значит, функция на нём возрастает.
3) Промежуток \(-1 < x < 1\) целиком лежит в промежутке \(x \leqslant 1\), значит, функция на нём убывает.
4) Промежуток \(x \geqslant 2\) целиком лежит в промежутке \(x \geqslant 1\), значит, функция на нём возрастает.
Ответ: функция \(y = x^2 - 2x + 1\) возрастает на промежутках 2) и 4), убывает на промежутках 1) и 3).
