Страница 121 номер 5.2.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Известно, что график функции \(y = ax^2 + bx + 3\) проходит через точки: 1) \(M(3; 9)\) и \(N(-2; 19)\); 2) \(M(-1; -1)\) и \(N(2; -7)\). Найти коэффициенты \(a\) и \(b\).
Подстановка координат точек в формулу \(y = ax^2 + bx + 3\) даёт систему двух уравнений с неизвестными \(a\) и \(b\).
1) Точки \(M(3;\ 9)\) и \(N(-2;\ 19)\):
\[\begin{cases} a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 3 = 9, \\ a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 3 = 19 \end{cases}\]
После упрощения и деления первого уравнения на 3, а второго на 2:
\[\begin{cases} 3a + b = 2, \\ 2a - b = 8 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(5a = 10\), откуда \(a = 2\). Тогда \(b = 2 - 3a = 2 - 6 = -4\).
2) Точки \(M(-1;\ -1)\) и \(N(2;\ -7)\):
\[\begin{cases} a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 3 = -1, \\ a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 3 = -7 \end{cases}\]
После упрощения и деления второго уравнения на 2:
\[\begin{cases} a - b = -4, \\ 2a + b = -5 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(3a = -9\), откуда \(a = -3\). Тогда \(b = a + 4 = -3 + 4 = 1\).
Ответ: 1) \(a = 2\), \(b = -4\); 2) \(a = -3\), \(b = 1\).
Известно, что график функции \(y = ax^2 + bx + 3\) проходит через точки: 1) \(M(3; 9)\) и \(N(-2; 19)\); 2) \(M(-1; -1)\) и \(N(2; -7)\). Найти коэффициенты \(a\) и \(b\).
Координаты каждой из данных точек обращают формулу \(y = ax^2 + bx + 3\) в верное равенство. Подстановка даёт систему двух уравнений с неизвестными \(a\) и \(b\).
1) Подставим координаты точек \(M(3;\ 9)\) и \(N(-2;\ 19)\):
\[\begin{cases} a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 3 = 9, \\ a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 3 = 19 \end{cases}\]
После упрощения и деления первого уравнения на 3, а второго на 2:
\[\begin{cases} 3a + b = 2, \\ 2a - b = 8 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(5a = 10\), откуда \(a = 2\). Тогда \(b = 2 - 3a = 2 - 6 = -4\).
2) Подставим координаты точек \(M(-1;\ -1)\) и \(N(2;\ -7)\):
\[\begin{cases} a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 3 = -1, \\ a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 3 = -7 \end{cases}\]
После упрощения и деления второго уравнения на 2:
\[\begin{cases} a - b = -4, \\ 2a + b = -5 \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(3a = -9\), откуда \(a = -3\). Тогда \(b = a + 4 = -3 + 4 = 1\).
Ответ: 1) \(a = 2\), \(b = -4\); 2) \(a = -3\), \(b = 1\).
