Страница 121 номер 5.2.25, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Известно, что график функции \(y = x^2 + px + q\) проходит через точки: 1) \(A(-1; 8)\) и \(B(2; 5)\); 2) \(A(1; -2)\) и \(B(-2; 11)\). Найти коэффициенты \(p\) и \(q\).
Подстановка координат точек в формулу \(y = x^2 + px + q\) даёт систему двух уравнений с неизвестными \(p\) и \(q\).
1) Точки \(A(-1;\ 8)\) и \(B(2;\ 5)\):
\[\begin{cases} (-1)^2 + p \cdot (-1) + q = 8, \\ 2^2 + p \cdot 2 + q = 5 \end{cases}\]
После упрощения:
\[\begin{cases} -p + q = 7, \\ 2p + q = 1 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(3p = -6\), откуда \(p = -2\). Тогда \(q = 7 + p = 7 - 2 = 5\).
2) Точки \(A(1;\ -2)\) и \(B(-2;\ 11)\):
\[\begin{cases} 1^2 + p \cdot 1 + q = -2, \\ (-2)^2 + p \cdot (-2) + q = 11 \end{cases}\]
После упрощения:
\[\begin{cases} p + q = -3, \\ -2p + q = 7 \end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе: \(3p = -10\), откуда \(p = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}\). Тогда \(q = -3 - p = -3 + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(p = -2\), \(q = 5\); 2) \(p = -3\frac{1}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\).
Известно, что график функции \(y = x^2 + px + q\) проходит через точки: 1) \(A(-1; 8)\) и \(B(2; 5)\); 2) \(A(1; -2)\) и \(B(-2; 11)\). Найти коэффициенты \(p\) и \(q\).
Координаты каждой из данных точек обращают формулу \(y = x^2 + px + q\) в верное равенство. Подстановка даёт систему двух уравнений с неизвестными \(p\) и \(q\).
1) Подставим координаты точек \(A(-1;\ 8)\) и \(B(2;\ 5)\):
\[\begin{cases} (-1)^2 + p \cdot (-1) + q = 8, \\ 2^2 + p \cdot 2 + q = 5 \end{cases}\]
После упрощения:
\[\begin{cases} -p + q = 7, \\ 2p + q = 1 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(3p = -6\), откуда \(p = -2\). Тогда \(q = 7 + p = 7 - 2 = 5\).
2) Подставим координаты точек \(A(1;\ -2)\) и \(B(-2;\ 11)\):
\[\begin{cases} 1^2 + p \cdot 1 + q = -2, \\ (-2)^2 + p \cdot (-2) + q = 11 \end{cases}\]
После упрощения:
\[\begin{cases} p + q = -3, \\ -2p + q = 7 \end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе: \(3p = -10\), откуда \(p = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}\). Тогда \(q = -3 - p = -3 + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(p = -2\), \(q = 5\); 2) \(p = -3\frac{1}{3}\), \(q = \frac{1}{3}\).
