Страница 120 номер 5.2.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Ветви параболы направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\); координаты вершины — \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = y(x_0)\), ось симметрии — прямая \(x = x_0\), поэтому точки для таблицы берём симметрично относительно неё. Нули функции — корни уравнения \(y = 0\), то есть абсциссы общих точек параболы и оси абсцисс.
1) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\), \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\), вершина — точка \((3;\ -1)\). Нули функции: \(x^2 - 6x + 8 = 0\), \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\), \(x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 4\); \(y < 0\) при \(2 < x < 4\). Функция убывает при \(x \leqslant 3\) и возрастает при \(x \geqslant 3\); наименьшее значение \(-1\) она принимает при \(x = 3\).
2) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\), \(y_0 = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4\), вершина — точка \((4;\ -4)\). Нули функции: \(x^2 - 8x + 12 = 0\), \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\), \(x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 6\); \(y < 0\) при \(2 < x < 6\). Функция убывает при \(x \leqslant 4\) и возрастает при \(x \geqslant 4\); наименьшее значение \(-4\) она принимает при \(x = 4\).
3) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16\), вершина — точка \((-2;\ -16)\). Нули функции: \(x^2 + 4x - 12 = 0\), \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\), \(x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -12 & -16 & -12 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -6\) и при \(x > 2\); \(y < 0\) при \(-6 < x < 2\). Функция убывает при \(x \leqslant -2\) и возрастает при \(x \geqslant -2\); наименьшее значение \(-16\) она принимает при \(x = -2\).
4) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\), вершина — точка \((-1;\ -9)\). Нули функции: \(x^2 + 2x - 8 = 0\), \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\), \(x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -8 & -9 & -8 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -4\) и при \(x > 2\); \(y < 0\) при \(-4 < x < 2\). Функция убывает при \(x \leqslant -1\) и возрастает при \(x \geqslant -1\); наименьшее значение \(-9\) она принимает при \(x = -1\).
5) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0\), \(y_0 = -0^2 + 4 = 4\), вершина — точка \((0;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 + 4 = 0\), откуда \(x^2 = 4\) и \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-2 < x < 2\); \(y < 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\). Функция возрастает при \(x \leqslant 0\) и убывает при \(x \geqslant 0\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = 0\).
6) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0\), \(y_0 = -0^2 + 9 = 9\), вершина — точка \((0;\ 9)\). Нули функции: \(-x^2 + 9 = 0\), откуда \(x^2 = 9\) и \(x_1 = -3\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 5 & 9 & 5 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-3 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 0\) и убывает при \(x \geqslant 0\); наибольшее значение \(9\) она принимает при \(x = 0\).
7) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2{,}5\), \(y_0 = -(-2{,}5)^2 - 5 \cdot (-2{,}5) = -6{,}25 + 12{,}5 = 6{,}25\), вершина — точка \((-2{,}5;\ 6{,}25)\). Нули функции: \(-x^2 - 5x = 0\), \(-x(x + 5) = 0\), \(x_1 = -5\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -2{,}5 & -1 & 0 \\ \hline y & 0 & 4 & 6{,}25 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-5 < x < 0\); \(y < 0\) при \(x < -5\) и при \(x > 0\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2{,}5\) и убывает при \(x \geqslant -2{,}5\); наибольшее значение \(6{,}25\) она принимает при \(x = -2{,}5\).
8) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\), \(y_0 = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25\), вершина — точка \((1{,}5;\ 2{,}25)\). Нули функции: \(-x^2 + 3x = 0\), \(x(3 - x) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & 0 & 2{,}25 & 0 & -4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(0 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1{,}5\) и убывает при \(x \geqslant 1{,}5\); наибольшее значение \(2{,}25\) она принимает при \(x = 1{,}5\).
9) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\), \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\), вершина — точка \((-1;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 - 2x + 3 = 0\), или \(x^2 + 2x - 3 = 0\); \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-3 < x < 1\); \(y < 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 1\). Функция возрастает при \(x \leqslant -1\) и убывает при \(x \geqslant -1\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = -1\).
10) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\), \(y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\), вершина — точка \((1;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\), или \(x^2 - 2x - 3 = 0\); \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-1 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1\) и убывает при \(x \geqslant 1\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = 1\).
11) \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2\), \(y_0 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2\), вершина — точка \((2;\ 2)\). Нули функции: \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\), или \(x^2 - 4x + 3 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\), \(x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -6 & 0 & 2 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(1 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < 1\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(2\) она принимает при \(x = 2\).
12) \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-2)} = -2\), \(y_0 = -2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 10 = -8 + 16 + 10 = 18\), вершина — точка \((-2;\ 18)\). Нули функции: \(-2x^2 - 8x + 10 = 0\), или \(x^2 + 4x - 5 = 0\); \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\), \(x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -2 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 10 & 18 & 10 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-5 < x < 1\); \(y < 0\) при \(x < -5\) и при \(x > 1\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2\) и убывает при \(x \geqslant -2\); наибольшее значение \(18\) она принимает при \(x = -2\).
13) \(a = 3 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-15}{2 \cdot 3} = 2{,}5\), \(y_0 = 3 \cdot 2{,}5^2 - 15 \cdot 2{,}5 + 18 = 18{,}75 - 37{,}5 + 18 = -0{,}75\), вершина — точка \((2{,}5;\ -0{,}75)\). Нули функции: \(3x^2 - 15x + 18 = 0\), или \(x^2 - 5x + 6 = 0\); \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\), \(x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 2{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & 6 & 0 & -0{,}75 & 0 & 6 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 3\); \(y < 0\) при \(2 < x < 3\). Функция убывает при \(x \leqslant 2{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 2{,}5\); наименьшее значение \(-0{,}75\) она принимает при \(x = 2{,}5\).
14) \(a = 3 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{9}{2 \cdot 3} = -1{,}5\), \(y_0 = 3 \cdot (-1{,}5)^2 + 9 \cdot (-1{,}5) - 12 = 6{,}75 - 13{,}5 - 12 = -18{,}75\), вершина — точка \((-1{,}5;\ -18{,}75)\). Нули функции: \(3x^2 + 9x - 12 = 0\), или \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\), \(x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -1{,}5 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & -12 & -18{,}75 & -12 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -4\) и при \(x > 1\); \(y < 0\) при \(-4 < x < 1\). Функция убывает при \(x \leqslant -1{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant -1{,}5\); наименьшее значение \(-18{,}75\) она принимает при \(x = -1{,}5\).
15) \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -3\), \(y_0 = \frac{1}{2} \cdot (-3)^2 + 3 \cdot (-3) - 2 = 4{,}5 - 9 - 2 = -6{,}5\), вершина — точка \((-3;\ -6{,}5)\). Нули функции: \(\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 = 0\), или \(x^2 + 6x - 4 = 0\); \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\), \(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\), \(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}\), то есть \(x_1 \approx -6{,}6\) и \(x_2 \approx 0{,}6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -5 & -3 & -1 & 0 \\ \hline y & -2 & -4{,}5 & -6{,}5 & -4{,}5 & -2 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -3 - \sqrt{13}\) и при \(x > -3 + \sqrt{13}\); \(y < 0\) при \(-3 - \sqrt{13} < x < -3 + \sqrt{13}\). Функция убывает при \(x \leqslant -3\) и возрастает при \(x \geqslant -3\); наименьшее значение \(-6{,}5\) она принимает при \(x = -3\).
16) \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4\), \(y_0 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5\), вершина — точка \((4;\ -5)\). Нули функции: \(\frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 = 0\), или \(x^2 - 8x + 6 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40\), \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\), \(x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}\), то есть \(x_1 \approx 0{,}8\) и \(x_2 \approx 7{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline y & 3 & -3 & -5 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 4 - \sqrt{10}\) и при \(x > 4 + \sqrt{10}\); \(y < 0\) при \(4 - \sqrt{10} < x < 4 + \sqrt{10}\). Функция убывает при \(x \leqslant 4\) и возрастает при \(x \geqslant 4\); наименьшее значение \(-5\) она принимает при \(x = 4\).
17) \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2\), \(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5\), вершина — точка \((2;\ 5)\). Нули функции: \(-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 = 0\), или \(x^2 - 4x - 6 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\), \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\), \(x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}\), то есть \(x_1 \approx -1{,}2\) и \(x_2 \approx 5{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & -3 & 3 & 5 & 3 & -3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10}\); \(y < 0\) при \(x < 2 - \sqrt{10}\) и при \(x > 2 + \sqrt{10}\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(5\) она принимает при \(x = 2\).
18) \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 3\), \(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 - 2 = -4{,}5 + 9 - 2 = 2{,}5\), вершина — точка \((3;\ 2{,}5)\). Нули функции: \(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 = 0\), или \(x^2 - 6x + 4 = 0\); \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\), \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\), \(x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\), то есть \(x_1 \approx 0{,}8\) и \(x_2 \approx 5{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 3 & 5 & 6 \\ \hline y & -2 & 0{,}5 & 2{,}5 & 0{,}5 & -2 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}\); \(y < 0\) при \(x < 3 - \sqrt{5}\) и при \(x > 3 + \sqrt{5}\). Функция возрастает при \(x \leqslant 3\) и убывает при \(x \geqslant 3\); наибольшее значение \(2{,}5\) она принимает при \(x = 3\).
19) \(a = 4 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = 0{,}5\), \(y_0 = 4 \cdot 0{,}5^2 - 4 \cdot 0{,}5 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\), вершина — точка \((0{,}5;\ 0)\). Нули функции: \(4x^2 - 4x + 1 = 0\), \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0\), корень один: \(x = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Вершина лежит на оси абсцисс, и парабола касается этой оси.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 0{,}5\); значений \(x\), при которых \(y < 0\), нет. Функция убывает при \(x \leqslant 0{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 0{,}5\); наименьшее значение \(0\) она принимает при \(x = 0{,}5\).
20) \(a = 4 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = 1{,}5\), \(y_0 = 4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\), вершина — точка \((1{,}5;\ 0)\). Нули функции: \(4x^2 - 12x + 9 = 0\), \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\), корень один: \(x = \frac{12}{8} = 1{,}5\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 1{,}5\); значений \(x\), при которых \(y < 0\), нет. Функция убывает при \(x \leqslant 1{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 1{,}5\); наименьшее значение \(0\) она принимает при \(x = 1{,}5\).
21) \(a = -\frac{1}{4} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = 4\), \(y_0 = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 4 = -4 + 8 - 4 = 0\), вершина — точка \((4;\ 0)\). Нули функции: \(-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 4 = 0\), или \(x^2 - 8x + 16 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\), корень один: \(x = \frac{8}{2} = 4\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 4\). Функция возрастает при \(x \leqslant 4\) и убывает при \(x \geqslant 4\); наибольшее значение \(0\) она принимает при \(x = 4\).
22) \(a = -\frac{1}{4} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = -2\), \(y_0 = -\frac{1}{4} \cdot (-2)^2 - (-2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0\), вершина — точка \((-2;\ 0)\). Нули функции: \(-\frac{1}{4}x^2 - x - 1 = 0\), или \(x^2 + 4x + 4 = 0\); \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\), корень один: \(x = -\frac{4}{2} = -2\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при всех \(x\), кроме \(x = -2\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2\) и убывает при \(x \geqslant -2\); наибольшее значение \(0\) она принимает при \(x = -2\).
23) \(a = -3 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1\), \(y_0 = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 5 = -3 + 6 - 5 = -2\), вершина — точка \((1;\ -2)\). Нули функции: \(-3x^2 + 6x - 5 = 0\), \(D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 36 - 60 = -24\); дискриминант отрицателен, нулей нет, и парабола целиком лежит ниже оси абсцисс.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & -5 & -2{,}75 & -2 & -2{,}75 & -5 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при любом \(x\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1\) и убывает при \(x \geqslant 1\); наибольшее значение \(-2\) она принимает при \(x = 1\).
24) \(a = -3 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = 2\), \(y_0 = -3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 13 = -12 + 24 - 13 = -1\), вершина — точка \((2;\ -1)\). Нули функции: \(-3x^2 + 12x - 13 = 0\), \(D = 12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-13) = 144 - 156 = -12\); дискриминант отрицателен, нулей нет, и парабола целиком лежит ниже оси абсцисс.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 & 3 \\ \hline y & -4 & -1{,}75 & -1 & -1{,}75 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при любом \(x\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(-1\) она принимает при \(x = 2\).
Ответ:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Пункт} & y > 0 & y < 0 & \text{возрастает} & \text{убывает} & \text{наибольшее (Б) или наименьшее (М) значение} \\ \hline 1 & x < 2,\ x > 4 & 2 < x < 4 & x \geqslant 3 & x \leqslant 3 & \text{(М) } -1 \text{ при } x = 3 \\ \hline 2 & x < 2,\ x > 6 & 2 < x < 6 & x \geqslant 4 & x \leqslant 4 & \text{(М) } -4 \text{ при } x = 4 \\ \hline 3 & x < -6,\ x > 2 & -6 < x < 2 & x \geqslant -2 & x \leqslant -2 & \text{(М) } -16 \text{ при } x = -2 \\ \hline 4 & x < -4,\ x > 2 & -4 < x < 2 & x \geqslant -1 & x \leqslant -1 & \text{(М) } -9 \text{ при } x = -1 \\ \hline 5 & -2 < x < 2 & x < -2,\ x > 2 & x \leqslant 0 & x \geqslant 0 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = 0 \\ \hline 6 & -3 < x < 3 & x < -3,\ x > 3 & x \leqslant 0 & x \geqslant 0 & \text{(Б) } 9 \text{ при } x = 0 \\ \hline 7 & -5 < x < 0 & x < -5,\ x > 0 & x \leqslant -2{,}5 & x \geqslant -2{,}5 & \text{(Б) } 6{,}25 \text{ при } x = -2{,}5 \\ \hline 8 & 0 < x < 3 & x < 0,\ x > 3 & x \leqslant 1{,}5 & x \geqslant 1{,}5 & \text{(Б) } 2{,}25 \text{ при } x = 1{,}5 \\ \hline 9 & -3 < x < 1 & x < -3,\ x > 1 & x \leqslant -1 & x \geqslant -1 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = -1 \\ \hline 10 & -1 < x < 3 & x < -1,\ x > 3 & x \leqslant 1 & x \geqslant 1 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = 1 \\ \hline 11 & 1 < x < 3 & x < 1,\ x > 3 & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } 2 \text{ при } x = 2 \\ \hline 12 & -5 < x < 1 & x < -5,\ x > 1 & x \leqslant -2 & x \geqslant -2 & \text{(Б) } 18 \text{ при } x = -2 \\ \hline 13 & x < 2,\ x > 3 & 2 < x < 3 & x \geqslant 2{,}5 & x \leqslant 2{,}5 & \text{(М) } -0{,}75 \text{ при } x = 2{,}5 \\ \hline 14 & x < -4,\ x > 1 & -4 < x < 1 & x \geqslant -1{,}5 & x \leqslant -1{,}5 & \text{(М) } -18{,}75 \text{ при } x = -1{,}5 \\ \hline 15 & x < -3 - \sqrt{13},\ x > -3 + \sqrt{13} & -3 - \sqrt{13} < x < -3 + \sqrt{13} & x \geqslant -3 & x \leqslant -3 & \text{(М) } -6{,}5 \text{ при } x = -3 \\ \hline 16 & x < 4 - \sqrt{10},\ x > 4 + \sqrt{10} & 4 - \sqrt{10} < x < 4 + \sqrt{10} & x \geqslant 4 & x \leqslant 4 & \text{(М) } -5 \text{ при } x = 4 \\ \hline 17 & 2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10} & x < 2 - \sqrt{10},\ x > 2 + \sqrt{10} & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } 5 \text{ при } x = 2 \\ \hline 18 & 3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5} & x < 3 - \sqrt{5},\ x > 3 + \sqrt{5} & x \leqslant 3 & x \geqslant 3 & \text{(Б) } 2{,}5 \text{ при } x = 3 \\ \hline 19 & x \ne 0{,}5 & \text{таких } x \text{ нет} & x \geqslant 0{,}5 & x \leqslant 0{,}5 & \text{(М) } 0 \text{ при } x = 0{,}5 \\ \hline 20 & x \ne 1{,}5 & \text{таких } x \text{ нет} & x \geqslant 1{,}5 & x \leqslant 1{,}5 & \text{(М) } 0 \text{ при } x = 1{,}5 \\ \hline 21 & \text{таких } x \text{ нет} & x \ne 4 & x \leqslant 4 & x \geqslant 4 & \text{(Б) } 0 \text{ при } x = 4 \\ \hline 22 & \text{таких } x \text{ нет} & x \ne -2 & x \leqslant -2 & x \geqslant -2 & \text{(Б) } 0 \text{ при } x = -2 \\ \hline 23 & \text{таких } x \text{ нет} & \text{при любом } x & x \leqslant 1 & x \geqslant 1 & \text{(Б) } -2 \text{ при } x = 1 \\ \hline 24 & \text{таких } x \text{ нет} & \text{при любом } x & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } -1 \text{ при } x = 2 \\ \hline \end{array}\]
Графиком каждой из этих функций служит парабола. Ветви её направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\). Координаты вершины находим по формулам \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) и \(y_0 = y(x_0)\); ось симметрии — прямая \(x = x_0\), поэтому точки для таблицы берём симметрично относительно неё. Нули функции — корни уравнения \(y = 0\); это абсциссы общих точек параболы и оси абсцисс: при двух корнях парабола пересекает эту ось, при одном корне касается её, а если корней нет, то общих точек с осью у параболы нет. По графику видно, на каких промежутках он лежит выше оси \(x\) (там \(y > 0\)) и на каких ниже её (там \(y < 0\)), где функция возрастает и где убывает, а также какое наибольшее или наименьшее значение она принимает.
1) \(a = 1 > 0\), ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\), ордината \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\), вершина — точка \((3;\ -1)\). Нули функции: \(x^2 - 6x + 8 = 0\), \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\), \(x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 4\); \(y < 0\) при \(2 < x < 4\). Функция убывает при \(x \leqslant 3\) и возрастает при \(x \geqslant 3\); наименьшее значение \(-1\) она принимает при \(x = 3\).
2) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\), \(y_0 = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4\), вершина — точка \((4;\ -4)\). Нули функции: \(x^2 - 8x + 12 = 0\), \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\), \(x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & -3 & -4 & -3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 6\); \(y < 0\) при \(2 < x < 6\). Функция убывает при \(x \leqslant 4\) и возрастает при \(x \geqslant 4\); наименьшее значение \(-4\) она принимает при \(x = 4\).
3) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16\), вершина — точка \((-2;\ -16)\). Нули функции: \(x^2 + 4x - 12 = 0\), \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\), \(x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -12 & -16 & -12 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -6\) и при \(x > 2\); \(y < 0\) при \(-6 < x < 2\). Функция убывает при \(x \leqslant -2\) и возрастает при \(x \geqslant -2\); наименьшее значение \(-16\) она принимает при \(x = -2\).
4) \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\), вершина — точка \((-1;\ -9)\). Нули функции: \(x^2 + 2x - 8 = 0\), \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\), \(x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -8 & -9 & -8 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -4\) и при \(x > 2\); \(y < 0\) при \(-4 < x < 2\). Функция убывает при \(x \leqslant -1\) и возрастает при \(x \geqslant -1\); наименьшее значение \(-9\) она принимает при \(x = -1\).
5) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0\), \(y_0 = -0^2 + 4 = 4\), вершина — точка \((0;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 + 4 = 0\), откуда \(x^2 = 4\) и \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-2 < x < 2\); \(y < 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\). Функция возрастает при \(x \leqslant 0\) и убывает при \(x \geqslant 0\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = 0\).
6) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0\), \(y_0 = -0^2 + 9 = 9\), вершина — точка \((0;\ 9)\). Нули функции: \(-x^2 + 9 = 0\), откуда \(x^2 = 9\) и \(x_1 = -3\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 5 & 9 & 5 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-3 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 0\) и убывает при \(x \geqslant 0\); наибольшее значение \(9\) она принимает при \(x = 0\).
7) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2{,}5\), \(y_0 = -(-2{,}5)^2 - 5 \cdot (-2{,}5) = -6{,}25 + 12{,}5 = 6{,}25\), вершина — точка \((-2{,}5;\ 6{,}25)\). Нули функции: \(-x^2 - 5x = 0\), \(-x(x + 5) = 0\), \(x_1 = -5\), \(x_2 = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -2{,}5 & -1 & 0 \\ \hline y & 0 & 4 & 6{,}25 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-5 < x < 0\); \(y < 0\) при \(x < -5\) и при \(x > 0\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2{,}5\) и убывает при \(x \geqslant -2{,}5\); наибольшее значение \(6{,}25\) она принимает при \(x = -2{,}5\).
8) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\), \(y_0 = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25\), вершина — точка \((1{,}5;\ 2{,}25)\). Нули функции: \(-x^2 + 3x = 0\), \(x(3 - x) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & 0 & 2{,}25 & 0 & -4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(0 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1{,}5\) и убывает при \(x \geqslant 1{,}5\); наибольшее значение \(2{,}25\) она принимает при \(x = 1{,}5\).
9) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\), \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\), вершина — точка \((-1;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 - 2x + 3 = 0\), или \(x^2 + 2x - 3 = 0\); \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-3 < x < 1\); \(y < 0\) при \(x < -3\) и при \(x > 1\). Функция возрастает при \(x \leqslant -1\) и убывает при \(x \geqslant -1\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = -1\).
10) \(a = -1 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\), \(y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\), вершина — точка \((1;\ 4)\). Нули функции: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\), или \(x^2 - 2x - 3 = 0\); \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\), \(x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-1 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < -1\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1\) и убывает при \(x \geqslant 1\); наибольшее значение \(4\) она принимает при \(x = 1\).
11) \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2\), \(y_0 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2\), вершина — точка \((2;\ 2)\). Нули функции: \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\), или \(x^2 - 4x + 3 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\), \(x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -6 & 0 & 2 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(1 < x < 3\); \(y < 0\) при \(x < 1\) и при \(x > 3\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(2\) она принимает при \(x = 2\).
12) \(a = -2 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-2)} = -2\), \(y_0 = -2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 10 = -8 + 16 + 10 = 18\), вершина — точка \((-2;\ 18)\). Нули функции: \(-2x^2 - 8x + 10 = 0\), или \(x^2 + 4x - 5 = 0\); \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\), \(x_1 = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -2 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 10 & 18 & 10 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(-5 < x < 1\); \(y < 0\) при \(x < -5\) и при \(x > 1\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2\) и убывает при \(x \geqslant -2\); наибольшее значение \(18\) она принимает при \(x = -2\).
13) \(a = 3 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-15}{2 \cdot 3} = 2{,}5\), \(y_0 = 3 \cdot 2{,}5^2 - 15 \cdot 2{,}5 + 18 = 18{,}75 - 37{,}5 + 18 = -0{,}75\), вершина — точка \((2{,}5;\ -0{,}75)\). Нули функции: \(3x^2 - 15x + 18 = 0\), или \(x^2 - 5x + 6 = 0\); \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\), \(x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 2{,}5 & 3 & 4 \\ \hline y & 6 & 0 & -0{,}75 & 0 & 6 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 2\) и при \(x > 3\); \(y < 0\) при \(2 < x < 3\). Функция убывает при \(x \leqslant 2{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 2{,}5\); наименьшее значение \(-0{,}75\) она принимает при \(x = 2{,}5\).
14) \(a = 3 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{9}{2 \cdot 3} = -1{,}5\), \(y_0 = 3 \cdot (-1{,}5)^2 + 9 \cdot (-1{,}5) - 12 = 6{,}75 - 13{,}5 - 12 = -18{,}75\), вершина — точка \((-1{,}5;\ -18{,}75)\). Нули функции: \(3x^2 + 9x - 12 = 0\), или \(x^2 + 3x - 4 = 0\); \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\), \(x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -1{,}5 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & -12 & -18{,}75 & -12 & 0 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -4\) и при \(x > 1\); \(y < 0\) при \(-4 < x < 1\). Функция убывает при \(x \leqslant -1{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant -1{,}5\); наименьшее значение \(-18{,}75\) она принимает при \(x = -1{,}5\).
15) \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -3\), \(y_0 = \frac{1}{2} \cdot (-3)^2 + 3 \cdot (-3) - 2 = 4{,}5 - 9 - 2 = -6{,}5\), вершина — точка \((-3;\ -6{,}5)\). Нули функции: \(\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 = 0\), или \(x^2 + 6x - 4 = 0\); \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\), \(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\), \(x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}\), то есть \(x_1 \approx -6{,}6\) и \(x_2 \approx 0{,}6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -5 & -3 & -1 & 0 \\ \hline y & -2 & -4{,}5 & -6{,}5 & -4{,}5 & -2 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < -3 - \sqrt{13}\) и при \(x > -3 + \sqrt{13}\); \(y < 0\) при \(-3 - \sqrt{13} < x < -3 + \sqrt{13}\). Функция убывает при \(x \leqslant -3\) и возрастает при \(x \geqslant -3\); наименьшее значение \(-6{,}5\) она принимает при \(x = -3\).
16) \(a = \frac{1}{2} > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4\), \(y_0 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5\), вершина — точка \((4;\ -5)\). Нули функции: \(\frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 = 0\), или \(x^2 - 8x + 6 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 64 - 24 = 40\), \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\), \(x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}\), то есть \(x_1 \approx 0{,}8\) и \(x_2 \approx 7{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline y & 3 & -3 & -5 & -3 & 3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(x < 4 - \sqrt{10}\) и при \(x > 4 + \sqrt{10}\); \(y < 0\) при \(4 - \sqrt{10} < x < 4 + \sqrt{10}\). Функция убывает при \(x \leqslant 4\) и возрастает при \(x \geqslant 4\); наименьшее значение \(-5\) она принимает при \(x = 4\).
17) \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2\), \(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5\), вершина — точка \((2;\ 5)\). Нули функции: \(-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 = 0\), или \(x^2 - 4x - 6 = 0\); \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\), \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\), \(x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}\), то есть \(x_1 \approx -1{,}2\) и \(x_2 \approx 5{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & -3 & 3 & 5 & 3 & -3 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10}\); \(y < 0\) при \(x < 2 - \sqrt{10}\) и при \(x > 2 + \sqrt{10}\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(5\) она принимает при \(x = 2\).
18) \(a = -\frac{1}{2} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 3\), \(y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 - 2 = -4{,}5 + 9 - 2 = 2{,}5\), вершина — точка \((3;\ 2{,}5)\). Нули функции: \(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 2 = 0\), или \(x^2 - 6x + 4 = 0\); \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\), \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\), \(x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\), то есть \(x_1 \approx 0{,}8\) и \(x_2 \approx 5{,}2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 3 & 5 & 6 \\ \hline y & -2 & 0{,}5 & 2{,}5 & 0{,}5 & -2 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при \(3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}\); \(y < 0\) при \(x < 3 - \sqrt{5}\) и при \(x > 3 + \sqrt{5}\). Функция возрастает при \(x \leqslant 3\) и убывает при \(x \geqslant 3\); наибольшее значение \(2{,}5\) она принимает при \(x = 3\).
19) \(a = 4 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = 0{,}5\), \(y_0 = 4 \cdot 0{,}5^2 - 4 \cdot 0{,}5 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\), вершина — точка \((0{,}5;\ 0)\). Нули функции: \(4x^2 - 4x + 1 = 0\), \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0\), корень один: \(x = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Вершина лежит на оси абсцисс, и парабола касается этой оси.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 0{,}5\); значений \(x\), при которых \(y < 0\), нет. Функция убывает при \(x \leqslant 0{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 0{,}5\); наименьшее значение \(0\) она принимает при \(x = 0{,}5\).
20) \(a = 4 > 0\), ветви направлены вверх. \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = 1{,}5\), \(y_0 = 4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\), вершина — точка \((1{,}5;\ 0)\). Нули функции: \(4x^2 - 12x + 9 = 0\), \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\), корень один: \(x = \frac{12}{8} = 1{,}5\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
\(y > 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 1{,}5\); значений \(x\), при которых \(y < 0\), нет. Функция убывает при \(x \leqslant 1{,}5\) и возрастает при \(x \geqslant 1{,}5\); наименьшее значение \(0\) она принимает при \(x = 1{,}5\).
21) \(a = -\frac{1}{4} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = 4\), \(y_0 = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 4 = -4 + 8 - 4 = 0\), вершина — точка \((4;\ 0)\). Нули функции: \(-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 4 = 0\), или \(x^2 - 8x + 16 = 0\); \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\), корень один: \(x = \frac{8}{2} = 4\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при всех \(x\), кроме \(x = 4\). Функция возрастает при \(x \leqslant 4\) и убывает при \(x \geqslant 4\); наибольшее значение \(0\) она принимает при \(x = 4\).
22) \(a = -\frac{1}{4} < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = -2\), \(y_0 = -\frac{1}{4} \cdot (-2)^2 - (-2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0\), вершина — точка \((-2;\ 0)\). Нули функции: \(-\frac{1}{4}x^2 - x - 1 = 0\), или \(x^2 + 4x + 4 = 0\); \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\), корень один: \(x = -\frac{4}{2} = -2\). Парабола касается оси абсцисс в вершине.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при всех \(x\), кроме \(x = -2\). Функция возрастает при \(x \leqslant -2\) и убывает при \(x \geqslant -2\); наибольшее значение \(0\) она принимает при \(x = -2\).
23) \(a = -3 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1\), \(y_0 = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 5 = -3 + 6 - 5 = -2\), вершина — точка \((1;\ -2)\). Нули функции: \(-3x^2 + 6x - 5 = 0\), \(D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 36 - 60 = -24\); дискриминант отрицателен, нулей нет, и парабола целиком лежит ниже оси абсцисс.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & -5 & -2{,}75 & -2 & -2{,}75 & -5 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при любом \(x\). Функция возрастает при \(x \leqslant 1\) и убывает при \(x \geqslant 1\); наибольшее значение \(-2\) она принимает при \(x = 1\).
24) \(a = -3 < 0\), ветви направлены вниз. \(x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = 2\), \(y_0 = -3 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 13 = -12 + 24 - 13 = -1\), вершина — точка \((2;\ -1)\). Нули функции: \(-3x^2 + 12x - 13 = 0\), \(D = 12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-13) = 144 - 156 = -12\); дискриминант отрицателен, нулей нет, и парабола целиком лежит ниже оси абсцисс.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 1{,}5 & 2 & 2{,}5 & 3 \\ \hline y & -4 & -1{,}75 & -1 & -1{,}75 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Значений \(x\), при которых \(y > 0\), нет; \(y < 0\) при любом \(x\). Функция возрастает при \(x \leqslant 2\) и убывает при \(x \geqslant 2\); наибольшее значение \(-1\) она принимает при \(x = 2\).
Ответ:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Пункт} & y > 0 & y < 0 & \text{возрастает} & \text{убывает} & \text{наибольшее (Б) или наименьшее (М) значение} \\ \hline 1 & x < 2,\ x > 4 & 2 < x < 4 & x \geqslant 3 & x \leqslant 3 & \text{(М) } -1 \text{ при } x = 3 \\ \hline 2 & x < 2,\ x > 6 & 2 < x < 6 & x \geqslant 4 & x \leqslant 4 & \text{(М) } -4 \text{ при } x = 4 \\ \hline 3 & x < -6,\ x > 2 & -6 < x < 2 & x \geqslant -2 & x \leqslant -2 & \text{(М) } -16 \text{ при } x = -2 \\ \hline 4 & x < -4,\ x > 2 & -4 < x < 2 & x \geqslant -1 & x \leqslant -1 & \text{(М) } -9 \text{ при } x = -1 \\ \hline 5 & -2 < x < 2 & x < -2,\ x > 2 & x \leqslant 0 & x \geqslant 0 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = 0 \\ \hline 6 & -3 < x < 3 & x < -3,\ x > 3 & x \leqslant 0 & x \geqslant 0 & \text{(Б) } 9 \text{ при } x = 0 \\ \hline 7 & -5 < x < 0 & x < -5,\ x > 0 & x \leqslant -2{,}5 & x \geqslant -2{,}5 & \text{(Б) } 6{,}25 \text{ при } x = -2{,}5 \\ \hline 8 & 0 < x < 3 & x < 0,\ x > 3 & x \leqslant 1{,}5 & x \geqslant 1{,}5 & \text{(Б) } 2{,}25 \text{ при } x = 1{,}5 \\ \hline 9 & -3 < x < 1 & x < -3,\ x > 1 & x \leqslant -1 & x \geqslant -1 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = -1 \\ \hline 10 & -1 < x < 3 & x < -1,\ x > 3 & x \leqslant 1 & x \geqslant 1 & \text{(Б) } 4 \text{ при } x = 1 \\ \hline 11 & 1 < x < 3 & x < 1,\ x > 3 & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } 2 \text{ при } x = 2 \\ \hline 12 & -5 < x < 1 & x < -5,\ x > 1 & x \leqslant -2 & x \geqslant -2 & \text{(Б) } 18 \text{ при } x = -2 \\ \hline 13 & x < 2,\ x > 3 & 2 < x < 3 & x \geqslant 2{,}5 & x \leqslant 2{,}5 & \text{(М) } -0{,}75 \text{ при } x = 2{,}5 \\ \hline 14 & x < -4,\ x > 1 & -4 < x < 1 & x \geqslant -1{,}5 & x \leqslant -1{,}5 & \text{(М) } -18{,}75 \text{ при } x = -1{,}5 \\ \hline 15 & x < -3 - \sqrt{13},\ x > -3 + \sqrt{13} & -3 - \sqrt{13} < x < -3 + \sqrt{13} & x \geqslant -3 & x \leqslant -3 & \text{(М) } -6{,}5 \text{ при } x = -3 \\ \hline 16 & x < 4 - \sqrt{10},\ x > 4 + \sqrt{10} & 4 - \sqrt{10} < x < 4 + \sqrt{10} & x \geqslant 4 & x \leqslant 4 & \text{(М) } -5 \text{ при } x = 4 \\ \hline 17 & 2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10} & x < 2 - \sqrt{10},\ x > 2 + \sqrt{10} & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } 5 \text{ при } x = 2 \\ \hline 18 & 3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5} & x < 3 - \sqrt{5},\ x > 3 + \sqrt{5} & x \leqslant 3 & x \geqslant 3 & \text{(Б) } 2{,}5 \text{ при } x = 3 \\ \hline 19 & x \ne 0{,}5 & \text{таких } x \text{ нет} & x \geqslant 0{,}5 & x \leqslant 0{,}5 & \text{(М) } 0 \text{ при } x = 0{,}5 \\ \hline 20 & x \ne 1{,}5 & \text{таких } x \text{ нет} & x \geqslant 1{,}5 & x \leqslant 1{,}5 & \text{(М) } 0 \text{ при } x = 1{,}5 \\ \hline 21 & \text{таких } x \text{ нет} & x \ne 4 & x \leqslant 4 & x \geqslant 4 & \text{(Б) } 0 \text{ при } x = 4 \\ \hline 22 & \text{таких } x \text{ нет} & x \ne -2 & x \leqslant -2 & x \geqslant -2 & \text{(Б) } 0 \text{ при } x = -2 \\ \hline 23 & \text{таких } x \text{ нет} & \text{при любом } x & x \leqslant 1 & x \geqslant 1 & \text{(Б) } -2 \text{ при } x = 1 \\ \hline 24 & \text{таких } x \text{ нет} & \text{при любом } x & x \leqslant 2 & x \geqslant 2 & \text{(Б) } -1 \text{ при } x = 2 \\ \hline \end{array}\]
