Страница 120 номер 5.2.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить графически уравнение: 1) \(x^2 = x + 6\); 2) \(x^2 = 6 - x\); 3) \(x^2 + 3 = 4x\); 4) \(x^2 + 6 = 5x\).
Корни уравнения — абсциссы точек пересечения графиков функций, записанных в левой и правой частях.
1) \(x^2 = x + 6\): парабола \(y = x^2\) и прямая \(y = x + 6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 6)\) и \((2;\ 8)\).
Графики пересекаются в точках \((-2;\ 4)\) и \((3;\ 9)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\).
2) \(x^2 = 6 - x\): парабола \(y = x^2\) и прямая \(y = 6 - x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 6)\) и \((2;\ 4)\).
Графики пересекаются в точках \((-3;\ 9)\) и \((2;\ 4)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\).
3) \(x^2 + 3 = 4x\): парабола \(y = x^2 + 3\) (перенос параболы \(y = x^2\) вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх) и прямая \(y = 4x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 12 & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 & 12 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 8)\).
Графики пересекаются в точках \((1;\ 4)\) и \((3;\ 12)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\).
4) \(x^2 + 6 = 5x\): парабола \(y = x^2 + 6\) (перенос параболы \(y = x^2\) вдоль оси \(y\) на 6 единиц вверх) и прямая \(y = 5x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 15 & 10 & 7 & 6 & 7 & 10 & 15 \\ \hline \end{array}\]
Прямая проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 10)\).
Графики пересекаются в точках \((2;\ 10)\) и \((3;\ 15)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
Ответ: 1) \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\); 2) \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\); 3) \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\); 4) \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
Решить графически уравнение: 1) \(x^2 = x + 6\); 2) \(x^2 = 6 - x\); 3) \(x^2 + 3 = 4x\); 4) \(x^2 + 6 = 5x\).
Корни уравнения — это те значения \(x\), при которых выражения в левой и правой частях принимают равные значения, то есть абсциссы точек пересечения графиков функций, записанных в этих частях.
1) \(x^2 = x + 6\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2\) и прямую \(y = x + 6\).
Значения функции \(y = x^2\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = x + 6\) проходит через точки \((0;\ 6)\) и \((2;\ 8)\).
Графики пересекаются в точках \((-2;\ 4)\) и \((3;\ 9)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). При \(x = -2\) обе части уравнения равны 4, при \(x = 3\) — равны 9.
2) \(x^2 = 6 - x\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2\) и прямую \(y = 6 - x\).
Значения функции \(y = x^2\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 6 - x\) проходит через точки \((0;\ 6)\) и \((2;\ 4)\).
Графики пересекаются в точках \((-3;\ 9)\) и \((2;\ 4)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). При \(x = -3\) обе части уравнения равны 9, при \(x = 2\) — равны 4.
3) \(x^2 + 3 = 4x\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2 + 3\) и прямую \(y = 4x\). Парабола \(y = x^2 + 3\) получается из параболы \(y = x^2\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх.
Значения функции \(y = x^2 + 3\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 12 & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 & 12 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 4x\) проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 8)\).
Графики пересекаются в точках \((1;\ 4)\) и \((3;\ 12)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\). При \(x = 1\) обе части уравнения равны 4, при \(x = 3\) — равны 12.
4) \(x^2 + 6 = 5x\).
В одной системе координат строим параболу \(y = x^2 + 6\) и прямую \(y = 5x\). Парабола \(y = x^2 + 6\) получается из параболы \(y = x^2\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на 6 единиц вверх.
Значения функции \(y = x^2 + 6\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 15 & 10 & 7 & 6 & 7 & 10 & 15 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 5x\) проходит через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 10)\).
Графики пересекаются в точках \((2;\ 10)\) и \((3;\ 15)\), поэтому корни уравнения \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). При \(x = 2\) обе части уравнения равны 10, при \(x = 3\) — равны 15.
Ответ: 1) \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\); 2) \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\); 3) \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\); 4) \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
