Страница 120 номер 5.2.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Не строя графика функции, найти её наибольшее или наименьшее значение: 1) \(y = x^2 + 2x + 5\); 2) \(y = x^2 + 4x - 3\); 3) \(y = -x^2 + 6x - 4\); 4) \(y = -x^2 - 2x + 2\).
Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = y(x_0)\). При \(a > 0\) ветви направлены вверх, и в вершине функция принимает наименьшее значение; при \(a < 0\) ветви направлены вниз, и в вершине — наибольшее.
1) \(a = 1 > 0\), значит, функция имеет наименьшее значение. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4\). Наименьшее значение \(4\) функция принимает при \(x = -1\).
2) \(a = 1 > 0\), значит, функция имеет наименьшее значение. \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7\). Наименьшее значение \(-7\) функция принимает при \(x = -2\).
3) \(a = -1 < 0\), значит, функция имеет наибольшее значение. \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3\), \(y_0 = -3^2 + 6 \cdot 3 - 4 = -9 + 18 - 4 = 5\). Наибольшее значение \(5\) функция принимает при \(x = 3\).
4) \(a = -1 < 0\), значит, функция имеет наибольшее значение. \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\), \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3\). Наибольшее значение \(3\) функция принимает при \(x = -1\).
Ответ: 1) наименьшее значение \(4\) при \(x = -1\); 2) наименьшее значение \(-7\) при \(x = -2\); 3) наибольшее значение \(5\) при \(x = 3\); 4) наибольшее значение \(3\) при \(x = -1\).
Не строя графика функции, найти её наибольшее или наименьшее значение: 1) \(y = x^2 + 2x + 5\); 2) \(y = x^2 + 4x - 3\); 3) \(y = -x^2 + 6x - 4\); 4) \(y = -x^2 - 2x + 2\).
Графиком функции \(y = ax^2 + bx + c\) служит парабола с вершиной \((x_0;\ y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а \(y_0 = y(x_0)\). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция принимает наименьшее значение; при \(a < 0\) ветви направлены вниз, и в вершине функция принимает наибольшее значение.
1) \(a = 1 > 0\), значит, функция имеет наименьшее значение. \(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\), \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4\). Наименьшее значение \(4\) функция принимает при \(x = -1\).
2) \(a = 1 > 0\), значит, функция имеет наименьшее значение. \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7\). Наименьшее значение \(-7\) функция принимает при \(x = -2\).
3) \(a = -1 < 0\), значит, функция имеет наибольшее значение. \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3\), \(y_0 = -3^2 + 6 \cdot 3 - 4 = -9 + 18 - 4 = 5\). Наибольшее значение \(5\) функция принимает при \(x = 3\).
4) \(a = -1 < 0\), значит, функция имеет наибольшее значение. \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1\), \(y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3\). Наибольшее значение \(3\) функция принимает при \(x = -1\).
Ответ: 1) наименьшее значение \(4\) при \(x = -1\); 2) наименьшее значение \(-7\) при \(x = -2\); 3) наибольшее значение \(5\) при \(x = 3\); 4) наибольшее значение \(3\) при \(x = -1\).
