7класс

Страница 119 номер 5.2.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§5. Функции. 5.2. Квадратичная функция. Страница 119. Номер 5.2.17

Решение:

Абсциссы общих точек — корни уравнения, которое получается приравниванием правых частей формул; ординату находим подстановкой абсциссы в любую из них.

1) \(x^2 - 3 = 3 - 5x\), откуда \(x^2 + 5x - 6 = 0\). \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\). При \(x = -6\): \(y = 3 - 5 \cdot (-6) = 33\); при \(x = 1\): \(y = 3 - 5 \cdot 1 = -2\). Общие точки — \((-6;\ 33)\) и \((1;\ -2)\).

2) \(x^2 - 5 = 5 - 3x\), откуда \(x^2 + 3x - 10 = 0\). \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\). При \(x = -5\): \(y = 5 - 3 \cdot (-5) = 20\); при \(x = 2\): \(y = 5 - 3 \cdot 2 = -1\). Общие точки — \((-5;\ 20)\) и \((2;\ -1)\).

3) \(2x^2 + 2x = 3 - 3x\), откуда \(2x^2 + 5x - 3 = 0\). \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5\). При \(x = -3\): \(y = 3 - 3 \cdot (-3) = 12\); при \(x = 0{,}5\): \(y = 3 - 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). Общие точки — \((-3;\ 12)\) и \((0{,}5;\ 1{,}5)\).

4) \(3x^2 - 3x = 2x + 2\), откуда \(3x^2 - 5x - 2 = 0\). \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2\). При \(x = -\frac{1}{3}\): \(y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = \frac{4}{3}\); при \(x = 2\): \(y = 2 \cdot 2 + 2 = 6\). Общие точки — \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{4}{3}\right)\) и \((2;\ 6)\).

5) \(3x^2 + 15x = 2x + 10\), откуда \(3x^2 + 13x - 10 = 0\). \(D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\), \(\sqrt{289} = 17\), \(x_1 = \frac{-13 - 17}{6} = -5\), \(x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{2}{3}\). При \(x = -5\): \(y = 2 \cdot (-5) + 10 = 0\); при \(x = \frac{2}{3}\): \(y = 2 \cdot \frac{2}{3} + 10 = \frac{34}{3}\). Общие точки — \((-5;\ 0)\) и \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{34}{3}\right)\).

6) \(-3x^2 + 12x = 4 - x\), откуда \(-3x^2 + 13x - 4 = 0\); после умножения обеих частей на \(-1\) получаем \(3x^2 - 13x + 4 = 0\). \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121\), \(x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{13 + 11}{6} = 4\). При \(x = \frac{1}{3}\): \(y = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}\); при \(x = 4\): \(y = 4 - 4 = 0\). Общие точки — \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{11}{3}\right)\) и \((4;\ 0)\).

Ответ: 1) \((-6;\ 33)\), \((1;\ -2)\); 2) \((-5;\ 20)\), \((2;\ -1)\); 3) \((-3;\ 12)\), \((0{,}5;\ 1{,}5)\); 4) \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{4}{3}\right)\), \((2;\ 6)\); 5) \((-5;\ 0)\), \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{34}{3}\right)\); 6) \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{11}{3}\right)\), \((4;\ 0)\).

Решение:

В общей точке двух графиков значения функций равны, поэтому абсциссы общих точек — корни уравнения, которое получается приравниванием правых частей формул. Ординату каждой общей точки находим подстановкой её абсциссы в любую из двух формул.

1) \(x^2 - 3 = 3 - 5x\), откуда \(x^2 + 5x - 6 = 0\). \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1\). При \(x = -6\) получаем \(y = 3 - 5 \cdot (-6) = 33\), при \(x = 1\) получаем \(y = 3 - 5 \cdot 1 = -2\). Общие точки — \((-6;\ 33)\) и \((1;\ -2)\).

2) \(x^2 - 5 = 5 - 3x\), откуда \(x^2 + 3x - 10 = 0\). \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), \(x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\). При \(x = -5\) получаем \(y = 5 - 3 \cdot (-5) = 20\), при \(x = 2\) получаем \(y = 5 - 3 \cdot 2 = -1\). Общие точки — \((-5;\ 20)\) и \((2;\ -1)\).

3) \(2x^2 + 2x = 3 - 3x\), откуда \(2x^2 + 5x - 3 = 0\). \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5\). При \(x = -3\) получаем \(y = 3 - 3 \cdot (-3) = 12\), при \(x = 0{,}5\) получаем \(y = 3 - 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). Общие точки — \((-3;\ 12)\) и \((0{,}5;\ 1{,}5)\).

4) \(3x^2 - 3x = 2x + 2\), откуда \(3x^2 - 5x - 2 = 0\). \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\), \(x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2\). При \(x = -\frac{1}{3}\) получаем \(y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = \frac{4}{3}\), при \(x = 2\) получаем \(y = 2 \cdot 2 + 2 = 6\). Общие точки — \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{4}{3}\right)\) и \((2;\ 6)\).

5) \(3x^2 + 15x = 2x + 10\), откуда \(3x^2 + 13x - 10 = 0\). \(D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\), \(\sqrt{289} = 17\), \(x_1 = \frac{-13 - 17}{6} = -5\), \(x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{2}{3}\). При \(x = -5\) получаем \(y = 2 \cdot (-5) + 10 = 0\), при \(x = \frac{2}{3}\) получаем \(y = 2 \cdot \frac{2}{3} + 10 = \frac{34}{3}\). Общие точки — \((-5;\ 0)\) и \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{34}{3}\right)\).

6) \(-3x^2 + 12x = 4 - x\), откуда \(-3x^2 + 13x - 4 = 0\); после умножения обеих частей на \(-1\) получаем \(3x^2 - 13x + 4 = 0\). \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121\), \(x_1 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{13 + 11}{6} = 4\). При \(x = \frac{1}{3}\) получаем \(y = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}\), при \(x = 4\) получаем \(y = 4 - 4 = 0\). Общие точки — \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{11}{3}\right)\) и \((4;\ 0)\).