Страница 119 номер 5.2.12, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Для \(y = a(x - m)^2 + n\) вершина параболы — точка \((m;\ n)\); для \(y = ax^2 + bx + c\) координаты вершины находим по формулам \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = y(x_0)\).
1) \(x + 7 = x - (-7)\), поэтому \(m = -7\), \(n = -12\), вершина — точка \((-7;\ -12)\).
2) \(m = 13\), \(n = 10\), вершина — точка \((13;\ 10)\).
3) \(m = 0{,}3\), \(n = 9\), вершина — точка \((0{,}3;\ 9)\).
4) \(x + 4 = x - (-4)\), поэтому \(m = -4\), \(n = -8\), вершина — точка \((-4;\ -8)\).
5) \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\), \(y_0 = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4\), вершина — точка \((4;\ -4)\).
6) \(x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5\), \(y_0 = (-5)^2 + 10 \cdot (-5) - 3 = 25 - 50 - 3 = -28\), вершина — точка \((-5;\ -28)\).
7) \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1\), \(y_0 = 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 14 = 3 - 6 - 14 = -17\), вершина — точка \((-1;\ -17)\).
8) \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\), \(y_0 = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 7 = 18 - 36 + 7 = -11\), вершина — точка \((3;\ -11)\).
9) \(x_0 = -\frac{16}{2 \cdot (-1)} = 8\), \(y_0 = -8^2 + 16 \cdot 8 - 10 = -64 + 128 - 10 = 54\), вершина — точка \((8;\ 54)\).
10) \(x_0 = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -7\), \(y_0 = -(-7)^2 - 14 \cdot (-7) + 1 = -49 + 98 + 1 = 50\), вершина — точка \((-7;\ 50)\).
11) \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2{,}5\), \(y_0 = -(-2{,}5)^2 - 5 \cdot (-2{,}5) + 2 = -6{,}25 + 12{,}5 + 2 = 8{,}25\), вершина — точка \((-2{,}5;\ 8{,}25)\).
12) \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\), \(y_0 = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 2 = -2{,}25 + 4{,}5 - 2 = 0{,}25\), вершина — точка \((1{,}5;\ 0{,}25)\).
13) \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -0{,}75\), \(y_0 = 2 \cdot (-0{,}75)^2 + 3 \cdot (-0{,}75) = 1{,}125 - 2{,}25 = -1{,}125\), вершина — точка \((-0{,}75;\ -1{,}125)\).
14) \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\), \(y_0 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\), вершина — точка \(\left(\frac{1}{3};\ -\frac{1}{3}\right)\).
15) \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{3}\), \(y_0 = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\), вершина — точка \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\).
16) \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -1{,}25\), \(y_0 = -2 \cdot (-1{,}25)^2 - 5 \cdot (-1{,}25) = -3{,}125 + 6{,}25 = 3{,}125\), вершина — точка \((-1{,}25;\ 3{,}125)\).
17) \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\), \(y_0 = 0^2 + 6 = 6\), вершина — точка \((0;\ 6)\).
18) \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\), \(y_0 = 0^2 - 4 = -4\), вершина — точка \((0;\ -4)\).
19) \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0\), \(y_0 = -2 \cdot 0^2 + 5 = 5\), вершина — точка \((0;\ 5)\).
20) \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0\), \(y_0 = -3 \cdot 0^2 - 7 = -7\), вершина — точка \((0;\ -7)\).
Ответ: 1) \((-7;\ -12)\); 2) \((13;\ 10)\); 3) \((0{,}3;\ 9)\); 4) \((-4;\ -8)\); 5) \((4;\ -4)\); 6) \((-5;\ -28)\); 7) \((-1;\ -17)\); 8) \((3;\ -11)\); 9) \((8;\ 54)\); 10) \((-7;\ 50)\); 11) \((-2{,}5;\ 8{,}25)\); 12) \((1{,}5;\ 0{,}25)\); 13) \((-0{,}75;\ -1{,}125)\); 14) \(\left(\frac{1}{3};\ -\frac{1}{3}\right)\); 15) \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\); 16) \((-1{,}25;\ 3{,}125)\); 17) \((0;\ 6)\); 18) \((0;\ -4)\); 19) \((0;\ 5)\); 20) \((0;\ -7)\).
Если квадратичная функция записана в виде \(y = a(x - m)^2 + n\), то вершиной параболы служит точка \((m;\ n)\). Если функция задана формулой \(y = ax^2 + bx + c\), то абсциссу вершины находим по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), а ординату — подстановкой: \(y_0 = y(x_0)\).
1) \(y = (x + 7)^2 - 12\). Так как \(x + 7 = x - (-7)\), здесь \(m = -7\), \(n = -12\), и вершина параболы — точка \((-7;\ -12)\).
2) \(y = (x - 13)^2 + 10\): \(m = 13\), \(n = 10\), вершина — точка \((13;\ 10)\).
3) \(y = -4(x - 0{,}3)^2 + 9\): \(m = 0{,}3\), \(n = 9\), вершина — точка \((0{,}3;\ 9)\).
4) \(y = -0{,}7(x + 4)^2 - 8\). Так как \(x + 4 = x - (-4)\), здесь \(m = -4\), \(n = -8\), и вершина параболы — точка \((-4;\ -8)\).
5) \(y = x^2 - 8x + 12\): \(x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\), \(y_0 = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4\). Вершина — точка \((4;\ -4)\).
6) \(y = x^2 + 10x - 3\): \(x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5\), \(y_0 = (-5)^2 + 10 \cdot (-5) - 3 = 25 - 50 - 3 = -28\). Вершина — точка \((-5;\ -28)\).
7) \(y = 3x^2 + 6x - 14\): \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -1\), \(y_0 = 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 14 = 3 - 6 - 14 = -17\). Вершина — точка \((-1;\ -17)\).
8) \(y = 2x^2 - 12x + 7\): \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\), \(y_0 = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 7 = 18 - 36 + 7 = -11\). Вершина — точка \((3;\ -11)\).
9) \(y = -x^2 + 16x - 10\): \(x_0 = -\frac{16}{2 \cdot (-1)} = 8\), \(y_0 = -8^2 + 16 \cdot 8 - 10 = -64 + 128 - 10 = 54\). Вершина — точка \((8;\ 54)\).
10) \(y = -x^2 - 14x + 1\): \(x_0 = -\frac{-14}{2 \cdot (-1)} = -7\), \(y_0 = -(-7)^2 - 14 \cdot (-7) + 1 = -49 + 98 + 1 = 50\). Вершина — точка \((-7;\ 50)\).
11) \(y = -x^2 - 5x + 2\): \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -2{,}5\), \(y_0 = -(-2{,}5)^2 - 5 \cdot (-2{,}5) + 2 = -6{,}25 + 12{,}5 + 2 = 8{,}25\). Вершина — точка \((-2{,}5;\ 8{,}25)\).
12) \(y = -x^2 + 3x - 2\): \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1{,}5\), \(y_0 = -1{,}5^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 2 = -2{,}25 + 4{,}5 - 2 = 0{,}25\). Вершина — точка \((1{,}5;\ 0{,}25)\).
13) \(y = 2x^2 + 3x\): \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -0{,}75\), \(y_0 = 2 \cdot (-0{,}75)^2 + 3 \cdot (-0{,}75) = 1{,}125 - 2{,}25 = -1{,}125\). Вершина — точка \((-0{,}75;\ -1{,}125)\).
14) \(y = 3x^2 - 2x\): \(x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\), \(y_0 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\). Вершина — точка \(\left(\frac{1}{3};\ -\frac{1}{3}\right)\).
15) \(y = -3x^2 + 4x\): \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{3}\), \(y_0 = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\). Вершина — точка \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\).
16) \(y = -2x^2 - 5x\): \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -1{,}25\), \(y_0 = -2 \cdot (-1{,}25)^2 - 5 \cdot (-1{,}25) = -3{,}125 + 6{,}25 = 3{,}125\). Вершина — точка \((-1{,}25;\ 3{,}125)\).
17) \(y = x^2 + 6\): \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\), \(y_0 = 0^2 + 6 = 6\). Вершина — точка \((0;\ 6)\).
18) \(y = x^2 - 4\): \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\), \(y_0 = 0^2 - 4 = -4\). Вершина — точка \((0;\ -4)\).
19) \(y = -2x^2 + 5\): \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0\), \(y_0 = -2 \cdot 0^2 + 5 = 5\). Вершина — точка \((0;\ 5)\).
20) \(y = -3x^2 - 7\): \(x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0\), \(y_0 = -3 \cdot 0^2 - 7 = -7\). Вершина — точка \((0;\ -7)\).
Ответ: 1) \((-7;\ -12)\); 2) \((13;\ 10)\); 3) \((0{,}3;\ 9)\); 4) \((-4;\ -8)\); 5) \((4;\ -4)\); 6) \((-5;\ -28)\); 7) \((-1;\ -17)\); 8) \((3;\ -11)\); 9) \((8;\ 54)\); 10) \((-7;\ 50)\); 11) \((-2{,}5;\ 8{,}25)\); 12) \((1{,}5;\ 0{,}25)\); 13) \((-0{,}75;\ -1{,}125)\); 14) \(\left(\frac{1}{3};\ -\frac{1}{3}\right)\); 15) \(\left(\frac{2}{3};\ \frac{4}{3}\right)\); 16) \((-1{,}25;\ 3{,}125)\); 17) \((0;\ 6)\); 18) \((0;\ -4)\); 19) \((0;\ 5)\); 20) \((0;\ -7)\).
