Страница 118 номер 5.2.11, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
График функции \(y = -3x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви вниз; строим её по точкам таблицы и проводим прямые \(y = -12\) и \(y = -1\frac{1}{3}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -12 & -3 & 0 & -3 & -12 \\ \hline \end{array}\]
Из \(-3x^2 = -12\) получаем \(x^2 = 4\), \(x = -2\) или \(x = 2\): прямая \(y = -12\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-2\) и 2.
Из \(-3x^2 = -\frac{4}{3}\) получаем \(x^2 = \frac{4}{9}\), \(x = -\frac{2}{3}\) или \(x = \frac{2}{3}\): прямая \(y = -1\frac{1}{3}\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-\frac{2}{3}\) и \(\frac{2}{3}\).
1) На прямой \(y = -12\) или ниже неё парабола лежит при \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\).
2) Выше прямой \(y = -12\) парабола лежит при \(-2 < x < 2\).
3) На прямой \(y = -1\frac{1}{3}\) или выше неё парабола лежит при \(-\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2}{3}\).
4) Ниже прямой \(y = -1\frac{1}{3}\) парабола лежит при \(x < -\frac{2}{3}\), \(x > \frac{2}{3}\).
5) Вся парабола расположена не выше оси \(x\), а прямая \(y = 1\) лежит выше оси \(x\), поэтому неравенство \(-3x^2 < 1\) верно при любом \(x\).
6) Прямая \(y = 3\) тоже лежит выше оси \(x\), поэтому неравенство \(-3x^2 \leqslant 3\) верно при любом \(x\).
7) Наибольшее значение функции равно нулю, а \(2 > 0\): ни одна точка параболы не лежит на прямой \(y = 2\) или выше неё, и неравенство \(-3x^2 \geqslant 2\) решений не имеет.
8) По той же причине ни одна точка параболы не лежит выше прямой \(y = 1{,}5\), и неравенство \(-3x^2 > 1{,}5\) решений не имеет.
Ответ: 1) \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\); 2) \(-2 < x < 2\); 3) \(-\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2}{3}\); 4) \(x < -\frac{2}{3}\), \(x > \frac{2}{3}\); 5) \(x\) — любое число; 6) \(x\) — любое число; 7) решений нет; 8) решений нет.
Графиком функции \(y = -3x^2\) служит парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Построим её по точкам таблицы и проведём прямые \(y = -12\) и \(y = -1\frac{1}{3}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -12 & -3 & 0 & -3 & -12 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = -12\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-2\) и 2: из \(-3x^2 = -12\) получаем \(x^2 = 4\), \(x = -2\) или \(x = 2\). Прямая \(y = -1\frac{1}{3}\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-\frac{2}{3}\) и \(\frac{2}{3}\): из \(-3x^2 = -\frac{4}{3}\) получаем \(x^2 = \frac{4}{9}\), \(x = -\frac{2}{3}\) или \(x = \frac{2}{3}\).
1) Неравенству \(-3x^2 \leqslant -12\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат на прямой \(y = -12\) или ниже неё, то есть \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\).
2) Неравенству \(-3x^2 > -12\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат выше прямой \(y = -12\), то есть \(-2 < x < 2\).
3) Неравенству \(-3x^2 \geqslant -1\frac{1}{3}\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат на прямой \(y = -1\frac{1}{3}\) или выше неё, то есть \(-\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2}{3}\).
4) Неравенству \(-3x^2 < -1\frac{1}{3}\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат ниже прямой \(y = -1\frac{1}{3}\), то есть \(x < -\frac{2}{3}\), \(x > \frac{2}{3}\).
5) Вся парабола расположена не выше оси \(x\), а прямая \(y = 1\) лежит выше оси \(x\), поэтому каждая точка параболы лежит ниже этой прямой. Неравенство \(-3x^2 < 1\) верно при любом \(x\).
6) Прямая \(y = 3\) тоже лежит выше оси \(x\), поэтому неравенство \(-3x^2 \leqslant 3\) верно при любом \(x\).
7) Наибольшее значение функции \(y = -3x^2\) равно нулю, а \(2 > 0\): ни одна точка параболы не лежит на прямой \(y = 2\) или выше неё. Неравенство \(-3x^2 \geqslant 2\) решений не имеет.
8) По той же причине ни одна точка параболы не лежит выше прямой \(y = 1{,}5\), и неравенство \(-3x^2 > 1{,}5\) решений не имеет.
Ответ: 1) \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\); 2) \(-2 < x < 2\); 3) \(-\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2}{3}\); 4) \(x < -\frac{2}{3}\), \(x > \frac{2}{3}\); 5) \(x\) — любое число; 6) \(x\) — любое число; 7) решений нет; 8) решений нет.
