Страница 116 номер 5.1.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Каждая из этих функций кусочно-заданная: её область определения разбита на промежутки, и на каждом промежутке графиком служит часть прямой. Значит, график строится по кускам: на каждом промежутке берутся две точки соответствующей прямой и проводится её часть, отвечающая этому промежутку.

1) \[y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \leqslant 0, \\ 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}\]

При \(x \leqslant 0\) графиком служит часть прямой \(y = -x\), проходящей через точки \((0;\ 0)\) и \((-3;\ 3)\); берётся её часть левее точки \((0;\ 0)\). При \(x > 0\) графиком служит часть прямой \(y = 2x\), проходящей через точки \((0;\ 0)\) и \((3;\ 6)\); берётся её часть правее точки \((0;\ 0)\). Значение \(x = 0\) входит в первый промежуток, поэтому точка \((0;\ 0)\) графику принадлежит и куски стыкуются в ней без разрыва.

2) \[y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < 0, \\ 3x, & \text{если } x \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(x < 0\) графиком служит часть прямой \(y = -2x\), проходящей через точки \((0;\ 0)\) и \((-3;\ 6)\). При \(x \geqslant 0\) графиком служит часть прямой \(y = 3x\), проходящей через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 6)\). Значение \(x = 0\) входит во второй промежуток, поэтому точка \((0;\ 0)\) графику принадлежит и куски стыкуются в ней без разрыва.

3) \[y = \begin{cases} 3x + 2, & \text{если } x < 0, \\ 2, & \text{если } x \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(x < 0\) графиком служит часть прямой \(y = 3x + 2\), проходящей через точки \((0;\ 2)\) и \((-1;\ -1)\). При \(x \geqslant 0\) графиком служит часть прямой \(y = 2\) — она параллельна оси \(x\) и проходит через точки \((0;\ 2)\) и \((3;\ 2)\). Значение \(x = 0\) входит во второй промежуток, и при подстановке \(x = 0\) в первую формулу тоже получается 2, поэтому куски стыкуются в точке \((0;\ 2)\) без разрыва.

4) \[y = \begin{cases} -x - 1, & \text{если } x \leqslant 0, \\ -1, & \text{если } x > 0 \end{cases}\]

При \(x \leqslant 0\) графиком служит часть прямой \(y = -x - 1\), проходящей через точки \((0;\ -1)\) и \((-4;\ 3)\); ось \(x\) эта прямая пересекает в точке \((-1;\ 0)\). При \(x > 0\) графиком служит часть прямой \(y = -1\), параллельной оси \(x\). Значение \(x = 0\) входит в первый промежуток, поэтому точка \((0;\ -1)\) графику принадлежит и куски стыкуются в ней без разрыва.

5) \[y = \begin{cases} -x + 3, & \text{если } x \leqslant -1, \\ x + 5, & \text{если } x > -1 \end{cases}\]

При \(x \leqslant -1\) графиком служит часть прямой \(y = -x + 3\), проходящей через точки \((-1;\ 4)\) и \((-4;\ 7)\). При \(x > -1\) графиком служит часть прямой \(y = x + 5\), проходящей через точки \((-1;\ 4)\) и \((2;\ 7)\). Значение \(x = -1\) входит в первый промежуток, поэтому точка \((-1;\ 4)\) графику принадлежит и куски стыкуются в ней без разрыва.

6) \[y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x \leqslant 1, \\ -2x + 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}\]

При \(x \leqslant 1\) графиком служит часть прямой \(y = -x + 2\), проходящей через точки \((1;\ 1)\) и \((-3;\ 5)\). При \(x > 1\) графиком служит часть прямой \(y = -2x + 3\), проходящей через точки \((1;\ 1)\) и \((3;\ -3)\); ось \(x\) она пересекает в точке \((1{,}5;\ 0)\). Значение \(x = 1\) входит в первый промежуток, поэтому точка \((1;\ 1)\) графику принадлежит и куски стыкуются в ней без разрыва.

7) \[y = \begin{cases} -x - 4, & \text{если } x \leqslant -2, \\ -2, & \text{если } -2 < x \leqslant 2, \\ x - 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}\]

При \(x \leqslant -2\) графиком служит часть прямой \(y = -x - 4\), проходящей через точки \((-2;\ -2)\) и \((-6;\ 2)\); ось \(x\) она пересекает в точке \((-4;\ 0)\). При \(-2 < x \leqslant 2\) графиком служит часть прямой \(y = -2\), параллельной оси \(x\). При \(x > 2\) графиком служит часть прямой \(y = x - 4\), проходящей через точки \((2;\ -2)\) и \((6;\ 2)\); ось \(x\) она пересекает в точке \((4;\ 0)\). В точках \((-2;\ -2)\) и \((2;\ -2)\) соседние формулы дают одно и то же значение \(-2\), поэтому куски стыкуются без разрывов.

8) \[y = \begin{cases} 2x + 5, & \text{если } x \leqslant -2, \\ 1, & \text{если } -2 < x \leqslant 1, \\ x, & \text{если } x > 1 \end{cases}\]

При \(x \leqslant -2\) графиком служит часть прямой \(y = 2x + 5\), проходящей через точки \((-2;\ 1)\) и \((-3;\ -1)\); ось \(x\) она пересекает в точке \((-2{,}5;\ 0)\). При \(-2 < x \leqslant 1\) графиком служит часть прямой \(y = 1\), параллельной оси \(x\). При \(x > 1\) графиком служит часть прямой \(y = x\), проходящей через точки \((1;\ 1)\) и \((4;\ 4)\). В точках \((-2;\ 1)\) и \((1;\ 1)\) соседние формулы дают одно и то же значение 1, поэтому куски стыкуются без разрывов.