Страница 104 номер 5.1.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Отметим вершины \(K(-4;\ 0)\), \(L(2;\ -3)\), \(M(4;\ 4)\), \(N(-3;\ 2)\), проведём стороны четырёхугольника \(KLMN\) и его диагонали \(KM\) и \(LN\). Точку пересечения диагоналей обозначим буквой \(P\), а точку пересечения отрезка \(KM\) с осью ординат — буквой \(Q\).

1) Диагональ \(KM\) лежит на прямой \(y = kx + b\), проходящей через точки \(K(-4;\ 0)\) и \(M(4;\ 4)\): \[\begin{cases} -4k + b = 0, \\ 4k + b = 4 \end{cases}\]

Сложим равенства: \(2b = 4\), откуда \(b = 2\). Тогда \(4k = 4 - 2 = 2\), \(k = 0{,}5\), и диагональ \(KM\) лежит на прямой \(y = 0{,}5x + 2\).

Диагональ \(LN\) лежит на прямой, проходящей через точки \(L(2;\ -3)\) и \(N(-3;\ 2)\): \[\begin{cases} 2k + b = -3, \\ -3k + b = 2 \end{cases}\]

Вычтем из первого равенства второе: \(5k = -5\), откуда \(k = -1\). Тогда \(b = -3 - 2k = -1\), и диагональ \(LN\) лежит на прямой \(y = -x - 1\).

Абсциссу точки \(P\) найдём из уравнения \(0{,}5x + 2 = -x - 1\): \[1{,}5x = -3,\qquad x = -2.\]

Тогда \(y = 0{,}5 \cdot (-2) + 2 = 1\), то есть \(P(-2;\ 1)\). Число \(-2\) лежит и между абсциссами \(-4\) и 4 точек \(K\) и \(M\), и между абсциссами \(-3\) и 2 точек \(N\) и \(L\), поэтому точка \(P\) принадлежит обеим диагоналям.

2) Все точки оси ординат имеют абсциссу 0. Подставим \(x = 0\) в формулу прямой \(KM\): \(y = 0{,}5 \cdot 0 + 2 = 2\), то есть \(Q(0;\ 2)\). Число 0 лежит между абсциссами \(-4\) и 4 точек \(K\) и \(M\), поэтому ось ординат пересекает сам отрезок \(KM\).

Ответ: 1) \((-2;\ 1)\); 2) \((0;\ 2)\).