Страница 104 номер 5.1.4, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Отметим вершины \(A(0;\ 4)\), \(B(4;\ 0)\), \(C(6;\ 4)\) и проведём стороны треугольника \(ABC\). Кроме сторон, на чертеже понадобятся продолжение стороны \(BC\) за точку \(B\) — на нём лежит точка \(D\) — и перпендикуляр \(CE\), опущенный из вершины \(C\) на сторону \(AB\).

1) Прямая \(BC\) — график линейной функции \(y = kx + b\). Координаты точек \(B(4;\ 0)\) и \(C(6;\ 4)\) обращают эту формулу в верные равенства: \[\begin{cases} 4k + b = 0, \\ 6k + b = 4 \end{cases}\]

Вычтем из второго равенства первое: \(2k = 4\), откуда \(k = 2\). Тогда \(b = -4k = -8\), и прямая \(BC\) задаётся формулой \(y = 2x - 8\).

Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, поэтому ордината искомой точки равна \(y = 2 \cdot 0 - 8 = -8\), то есть \(D(0;\ -8)\). Абсциссы точек \(B\) и \(C\) равны 4 и 6, а у точки \(D\) абсцисса равна 0, поэтому \(D\) лежит не на самом отрезке \(BC\), а на его продолжении за точку \(B\).

2) Прямая \(AB\) пересекает ось ординат в точке \(A(0;\ 4)\), значит, \(b = 4\). Координаты точки \(B(4;\ 0)\) дают равенство \(0 = 4k + 4\), откуда \(k = -1\), и прямая \(AB\) задаётся формулой \(y = -x + 4\).

Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(-1\): на одну клетку вправо она опускается на одну клетку, то есть идёт по диагоналям клеток. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярная ей прямая идёт по другим диагоналям клеток: на клетку вправо — на клетку вверх. Значит, у прямой \(CE\) угловой коэффициент равен 1 и она задаётся формулой \(y = x + b\). Координаты точки \(C(6;\ 4)\) дают равенство \(4 = 6 + b\), откуда \(b = -2\) и \(y = x - 2\).

Абсциссу точки \(E\) найдём из уравнения \(-x + 4 = x - 2\): \[-2x = -6,\qquad x = 3.\]

Тогда \(y = -3 + 4 = 1\), то есть \(E(3;\ 1)\). Абсцисса 3 лежит между абсциссами 0 и 4 точек \(A\) и \(B\), поэтому основание перпендикуляра попадает на саму сторону \(AB\).

Ответ: 1) \(D(0;\ -8)\); 2) \(E(3;\ 1)\).