Страница 111 номер 5.1.23, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) \(y = -x + 3\) и \(y = \frac{x}{3} - 1\).
Первая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 6\), то \(y = -3\).
Вторая прямая: если \(x = 0\), то \(y = -1\); если \(x = 6\), то \(y = 1\).
Приравняем правые части: \(-x + 3 = \frac{x}{3} - 1\); умножим обе части на 3: \(-3x + 9 = x - 3\), \(-4x = -12\), \(x = 3\). Тогда \(y = -3 + 3 = 0\) — прямые пересекаются в точке \((3;\ 0)\).
2) \(y = \frac{x}{2} + 4\) и \(y = -x + 7\).
Первая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 4\); если \(x = 4\), то \(y = 6\).
Вторая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 7\); если \(x = 7\), то \(y = 0\).
Приравняем правые части: \(\frac{x}{2} + 4 = -x + 7\); умножим обе части на 2: \(x + 8 = -2x + 14\), \(3x = 6\), \(x = 2\). Тогда \(y = -2 + 7 = 5\) — прямые пересекаются в точке \((2;\ 5)\).
3) \(y = 5x + 3\) и \(y = -\frac{x}{5} + 3\).
Первая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 1\), то \(y = 8\).
Вторая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 5\), то \(y = 2\).
Приравняем правые части: \(5x + 3 = -\frac{x}{5} + 3\); умножим обе части на 5: \(25x + 15 = -x + 15\), \(26x = 0\), \(x = 0\). Тогда \(y = 5 \cdot 0 + 3 = 3\) — прямые пересекаются в точке \((0;\ 3)\), лежащей на оси ординат.
4) \(y = 4x + 2\) и \(y = -\frac{x}{2} - 2{,}5\).
Первая прямая: если \(x = 0\), то \(y = 2\); если \(x = 1\), то \(y = 6\).
Вторая прямая: если \(x = 0\), то \(y = -2{,}5\); если \(x = -5\), то \(y = 0\).
Приравняем правые части: \(4x + 2 = -\frac{x}{2} - 2{,}5\); умножим обе части на 2: \(8x + 4 = -x - 5\), \(9x = -9\), \(x = -1\). Тогда \(y = 4 \cdot (-1) + 2 = -2\) — прямые пересекаются в точке \((-1;\ -2)\).
Ответ: 1) \((3;\ 0)\); 2) \((2;\ 5)\); 3) \((0;\ 3)\); 4) \((-1;\ -2)\).
Графиком каждой из данных линейных функций служит прямая, и для её построения достаточно двух точек. Абсциссу точки пересечения двух прямых находим, приравняв правые части формул, а ординату — подстановкой найденной абсциссы в любую из формул.
1) \(y = -x + 3\) и \(y = \frac{x}{3} - 1\).
Для первой прямой: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 6\), то \(y = -3\).
Для второй прямой: если \(x = 0\), то \(y = -1\); если \(x = 6\), то \(y = 1\).
Приравняем правые части: \(-x + 3 = \frac{x}{3} - 1\). Умножим обе части на 3: \(-3x + 9 = x - 3\), \(-4x = -12\), \(x = 3\). Тогда \(y = -3 + 3 = 0\), и прямые пересекаются в точке \((3;\ 0)\).
2) \(y = \frac{x}{2} + 4\) и \(y = -x + 7\).
Для первой прямой: если \(x = 0\), то \(y = 4\); если \(x = 4\), то \(y = 6\).
Для второй прямой: если \(x = 0\), то \(y = 7\); если \(x = 7\), то \(y = 0\).
Приравняем правые части: \(\frac{x}{2} + 4 = -x + 7\). Умножим обе части на 2: \(x + 8 = -2x + 14\), \(3x = 6\), \(x = 2\). Тогда \(y = -2 + 7 = 5\), и прямые пересекаются в точке \((2;\ 5)\).
3) \(y = 5x + 3\) и \(y = -\frac{x}{5} + 3\).
Для первой прямой: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 1\), то \(y = 8\).
Для второй прямой: если \(x = 0\), то \(y = 3\); если \(x = 5\), то \(y = 2\).
Приравняем правые части: \(5x + 3 = -\frac{x}{5} + 3\). Умножим обе части на 5: \(25x + 15 = -x + 15\), \(26x = 0\), \(x = 0\). Тогда \(y = 5 \cdot 0 + 3 = 3\), и прямые пересекаются в точке \((0;\ 3)\), лежащей на оси ординат.
4) \(y = 4x + 2\) и \(y = -\frac{x}{2} - 2{,}5\).
Для первой прямой: если \(x = 0\), то \(y = 2\); если \(x = 1\), то \(y = 6\).
Для второй прямой: если \(x = 0\), то \(y = -2{,}5\); если \(x = -5\), то \(y = 0\).
Приравняем правые части: \(4x + 2 = -\frac{x}{2} - 2{,}5\). Умножим обе части на 2: \(8x + 4 = -x - 5\), \(9x = -9\), \(x = -1\). Тогда \(y = 4 \cdot (-1) + 2 = -2\), и прямые пересекаются в точке \((-1;\ -2)\).
Ответ: 1) \((3;\ 0)\); 2) \((2;\ 5)\); 3) \((0;\ 3)\); 4) \((-1;\ -2)\).
