Страница 102 номер 4.2.70, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Около дома растут липы и берёзы общим количеством более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берёз увеличить на 18, то берёз окажется больше. Если же увеличить вдвое количество берёз, а количество лип не изменять, то лип будет больше. Сколько лип и сколько берёз растёт около дома?
Дано:
\(l\) — число лип
\(b\) — число берёз
\(l + b > 14\)
\(b + 18 > 2l\)
\(l > 2b\)
Найти: \(l\) и \(b\).
Решение:
Пусть около дома растёт \(l\) лип и \(b\) берёз; это натуральные числа, и по условию
\[l + b > 14, \qquad b + 18 > 2l, \qquad l > 2b.\]
Из \(l > 2b\) следует \(2l > 4b\); вместе с \(b + 18 > 2l\) это даёт \(b + 18 > 4b\), откуда \(3b < 18\) и \(b < 6\).
Из \(l + b > 14\) следует \(2l + 2b > 28\). Прибавим к обеим частям неравенства \(2l < b + 18\) число \(2b\): \(2l + 2b < 3b + 18\). Значит, \(28 < 3b + 18\), откуда \(3b > 10\) и \(b > 3\frac{1}{3}\).
Число \(b\) натуральное и \(3\frac{1}{3} < b < 6\), поэтому \(b = 4\) или \(b = 5\).
При \(b = 4\): из \(l > 2b\) следует \(l > 8\); из \(b + 18 > 2l\) следует \(22 > 2l\), то есть \(l < 11\); из \(l + b > 14\) следует \(l > 10\). Натурального числа, которое больше 10 и меньше 11, не существует — случай отпадает.
При \(b = 5\): из \(l > 2b\) следует \(l > 10\); из \(b + 18 > 2l\) следует \(23 > 2l\), то есть \(l < 11{,}5\); из \(l + b > 14\) следует \(l > 9\). Всем трём условиям удовлетворяет единственное натуральное число \(l = 11\).
Проверка: всего деревьев \(11 + 5 = 16\) — больше 14. Удвоенное число лип \(2 \cdot 11 = 22\), а берёз стало \(5 + 18 = 23\), и \(23 > 22\). Удвоенное число берёз \(2 \cdot 5 = 10\), а лип 11, и \(11 > 10\).
Ответ: 11 лип и 5 берёз.
Около дома растут липы и берёзы общим количеством более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берёз увеличить на 18, то берёз окажется больше. Если же увеличить вдвое количество берёз, а количество лип не изменять, то лип будет больше. Сколько лип и сколько берёз растёт около дома?
Дано:
\(l\) — число лип
\(b\) — число берёз
\(l + b > 14\)
\(b + 18 > 2l\)
\(l > 2b\)
Найти: \(l\) и \(b\).
Решение:
Пусть около дома растёт \(l\) лип и \(b\) берёз; это натуральные числа.
Всего деревьев более 14:
\[l + b > 14.\]
Если количество лип увеличить вдвое, а количество берёз увеличить на 18, то берёз окажется больше:
\[b + 18 > 2l.\]
Если количество берёз увеличить вдвое, а количество лип не изменять, то лип будет больше:
\[l > 2b.\]
Из \(l > 2b\) следует \(2l > 4b\). Вместе с \(b + 18 > 2l\) это даёт \(b + 18 > 4b\), откуда \(3b < 18\) и \(b < 6\).
Из \(l + b > 14\) следует \(2l + 2b > 28\). Прибавим к обеим частям неравенства \(2l < b + 18\) число \(2b\): \(2l + 2b < 3b + 18\). Значит, \(28 < 3b + 18\), откуда \(3b > 10\) и \(b > 3\frac{1}{3}\).
Число \(b\) натуральное и \(3\frac{1}{3} < b < 6\), поэтому \(b = 4\) или \(b = 5\).
Пусть \(b = 4\). Из \(l > 2b\) следует \(l > 8\); из \(b + 18 > 2l\) следует \(22 > 2l\), то есть \(l < 11\); из \(l + b > 14\) следует \(l > 10\). Натурального числа, которое одновременно больше 10 и меньше 11, не существует, поэтому этот случай отпадает.
Пусть \(b = 5\). Из \(l > 2b\) следует \(l > 10\); из \(b + 18 > 2l\) следует \(23 > 2l\), то есть \(l < 11{,}5\); из \(l + b > 14\) следует \(l > 9\). Всем трём условиям удовлетворяет единственное натуральное число \(l = 11\).
Проверка: всего деревьев \(11 + 5 = 16\) — больше 14. Удвоенное число лип \(2 \cdot 11 = 22\), а берёз стало \(5 + 18 = 23\), и \(23 > 22\). Удвоенное число берёз \(2 \cdot 5 = 10\), а лип 11, и \(11 > 10\).
Ответ: 11 лип и 5 берёз.
