Страница 102 номер 4.2.68, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В первом сосуде 4 л раствора кислоты, а во втором сосуде 6 л другого раствора той же кислоты. Если растворы слить вместе, то получится раствор, содержащий \(70\ \%\) этой кислоты. Если же слить по 2 л из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий \(p\ \%\) кислоты. 1) Сколько литров кислоты во втором сосуде? 2) Какие значения может принимать \(p\), если чистую воду или обезвоженную кислоту раствором не считаем?
Дано:
\(4\) л — раствор кислоты в первом сосуде
\(6\) л — раствор кислоты во втором сосуде
\(70\ \%\) — доля кислоты в смеси обоих растворов
\(p\ \%\) — доля кислоты в смеси 2 л из первого и 2 л из второго сосуда
Найти: 1) объём кислоты во втором сосуде; 2) значения, которые может принимать \(p\).
Решение:
Пусть в первом сосуде \(x\) л кислоты, а во втором \(y\) л кислоты.
В смеси \(4 + 6 = 10\) (л); кислоты в ней \(x + y\) л, что составляет \(70\ \%\) от 10 л:
\[x + y = 0{,}7 \cdot 10 = 7.\]
В 2 л раствора из первого сосуда кислоты \(\frac{x}{2}\) л, в 2 л из второго — \(\frac{y}{3}\) л; всего смеси \(2 + 2 = 4\) (л), и кислоты в ней \(p\ \%\) от 4 л:
\[\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{p}{100} \cdot 4 = 0{,}04p.\]
1) Из первого равенства \(x = 7 - y\); подставим во второе и умножим обе части на 6:
\[3(7 - y) + 2y = 0{,}24p, \quad 21 - y = 0{,}24p, \quad y = 21 - 0{,}24p.\]
Значит, во втором сосуде \((21 - 0{,}24p)\) л кислоты.
2) Ни один раствор не является ни чистой водой, ни обезвоженной кислотой, поэтому
\[0 < x < 4, \qquad 0 < y < 6.\]
Так как \(x = 7 - y\), из \(0 < 7 - y < 4\) получаем \(-7 < -y < -3\), а умножив все части на \(-1\) и изменив знаки неравенств на противоположные, — \(3 < y < 7\). Вместе с \(0 < y < 6\) это даёт
\[3 < y < 6.\]
Подставим \(y = 21 - 0{,}24p\) и вычтем из всех частей 21:
\[3 < 21 - 0{,}24p < 6, \quad -18 < -0{,}24p < -15.\]
Разделим все части на \(-0{,}24\), изменив знаки неравенств на противоположные:
\[75 > p > 62{,}5.\]
Значит, \(62{,}5 < p < 75\).
Ответ: 1) во втором сосуде \((21 - 0{,}24p)\) л кислоты; 2) \(62{,}5 < p < 75\).
В первом сосуде 4 л раствора кислоты, а во втором сосуде 6 л другого раствора той же кислоты. Если растворы слить вместе, то получится раствор, содержащий \(70\ \%\) этой кислоты. Если же слить по 2 л из каждого сосуда, то получится раствор, содержащий \(p\ \%\) кислоты. 1) Сколько литров кислоты во втором сосуде? 2) Какие значения может принимать \(p\), если чистую воду или обезвоженную кислоту раствором не считаем?
Дано:
\(4\) л — раствор кислоты в первом сосуде
\(6\) л — раствор кислоты во втором сосуде
\(70\ \%\) — доля кислоты в смеси обоих растворов
\(p\ \%\) — доля кислоты в смеси 2 л из первого и 2 л из второго сосуда
Найти: 1) объём кислоты во втором сосуде; 2) значения, которые может принимать \(p\).
Решение:
Пусть в первом сосуде \(x\) л кислоты, а во втором \(y\) л кислоты.
Если слить растворы вместе, получится \(4 + 6 = 10\) (л) смеси, и кислоты в ней \(x + y\) л, что составляет \(70\ \%\) от 10 л:
\[x + y = 0{,}7 \cdot 10 = 7.\]
В 1 л раствора из первого сосуда кислоты \(\frac{x}{4}\) л, поэтому в 2 л её \(\frac{x}{2}\) л. В 1 л раствора из второго сосуда кислоты \(\frac{y}{6}\) л, поэтому в 2 л её \(\frac{y}{3}\) л. Всего получается \(2 + 2 = 4\) (л) смеси, и кислоты в ней \(p\ \%\) от 4 л:
\[\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{p}{100} \cdot 4 = 0{,}04p.\]
1) Из первого равенства \(x = 7 - y\). Подставим это во второе равенство и умножим обе части на 6:
\[3(7 - y) + 2y = 0{,}24p,\] \[21 - y = 0{,}24p,\] \[y = 21 - 0{,}24p.\]
Значит, во втором сосуде \((21 - 0{,}24p)\) л кислоты.
2) Ни один из растворов не является ни чистой водой, ни обезвоженной кислотой, поэтому в каждом сосуде кислоты больше нуля, но меньше, чем всего раствора:
\[0 < x < 4, \qquad 0 < y < 6.\]
Так как \(x = 7 - y\), первое двойное неравенство даёт \(0 < 7 - y < 4\). Вычтем из всех частей 7: \(-7 < -y < -3\); умножив все части на \(-1\) и изменив знаки неравенств на противоположные, получаем \(3 < y < 7\). Вместе с условием \(0 < y < 6\) это даёт
\[3 < y < 6.\]
Подставим \(y = 21 - 0{,}24p\):
\[3 < 21 - 0{,}24p < 6.\]
Вычтем из всех частей 21:
\[-18 < -0{,}24p < -15.\]
Разделим все части на \(-0{,}24\), изменив знаки неравенств на противоположные:
\[75 > p > 62{,}5.\]
Значит, \(62{,}5 < p < 75\).
Ответ: 1) во втором сосуде \((21 - 0{,}24p)\) л кислоты; 2) \(62{,}5 < p < 75\).
