Страница 102 номер 4.2.67, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти длину наибольшего отрезка, параллельного оси абсцисс, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству \(|x| + 2|y - 1| \le 4\).
Отрезок, параллельный оси абсцисс, лежит на прямой \(y = y_0\). Точка \((x;\ y_0)\) удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда
\[|x| \leqslant 4 - 2|y_0 - 1|.\]
Модуль неотрицателен, поэтому при \(4 - 2|y_0 - 1| < 0\) на прямой \(y = y_0\) подходящих точек нет.
Пусть \(m = 4 - 2|y_0 - 1| \geqslant 0\). Условие \(|x| \leqslant m\) означает \(-m \leqslant x \leqslant m\), поэтому подходящие точки прямой \(y = y_0\) образуют отрезок с концами \((-m;\ y_0)\) и \((m;\ y_0)\) длиной
\[2m = 8 - 4|y_0 - 1|.\]
Так как \(|y_0 - 1| \geqslant 0\), то \(8 - 4|y_0 - 1| \leqslant 8\), причём равенство достигается только при \(|y_0 - 1| = 0\), то есть при \(y_0 = 1\).
Наибольшую длину имеет отрезок с концами \((-4;\ 1)\) и \((4;\ 1)\), его длина равна 8.
Ответ: 8.
Найти длину наибольшего отрезка, параллельного оси абсцисс, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству \(|x| + 2|y - 1| \le 4\).
Отрезок, параллельный оси абсцисс, лежит на прямой \(y = y_0\), где \(y_0\) — некоторое число. Точка \((x;\ y_0)\) удовлетворяет неравенству \(|x| + 2|y - 1| \leqslant 4\) тогда и только тогда, когда
\[|x| \leqslant 4 - 2|y_0 - 1|.\]
Модуль неотрицателен, поэтому при \(4 - 2|y_0 - 1| < 0\) на прямой \(y = y_0\) нет ни одной точки, удовлетворяющей неравенству.
Пусть \(4 - 2|y_0 - 1| \geqslant 0\); обозначим это число буквой \(m\). Модуль числа \(x\) — расстояние от точки \(x\) до нуля, поэтому условие \(|x| \leqslant m\) означает \(-m \leqslant x \leqslant m\). Точки прямой \(y = y_0\), удовлетворяющие неравенству, образуют отрезок с концами \((-m;\ y_0)\) и \((m;\ y_0)\), и его длина равна
\[2m = 8 - 4|y_0 - 1|.\]
Так как \(|y_0 - 1| \geqslant 0\), то \(8 - 4|y_0 - 1| \leqslant 8\), причём равенство достигается только при \(|y_0 - 1| = 0\), то есть при \(y_0 = 1\).
Наибольшую длину имеет отрезок с концами \((-4;\ 1)\) и \((4;\ 1)\), его длина равна 8.
Ответ: 8.
