Страница 102 номер 4.2.66, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти значения параметров \(a\) и \(b\), при которых совпадают решения неравенств: 1) \(x^2 - (3 - a)x - 3a \le 0\) и \(|x - 2| \le b\); 2) \(x^2 - (7 - a)x - 7a \ge 0\) и \(|x - 5| \ge b\).
1) Разложим левую часть первого неравенства на множители:
\[x^2 - (3 - a)x - 3a = x^2 - 3x + ax - 3a = x(x - 3) + a(x - 3) = (x - 3)(x + a).\]
Корни трёхчлена — 3 и \(-a\), а парабола ветвями вверх лежит ниже оси \(x\) между корнями. Значит, при \(-a < 3\) решения первого неравенства — отрезок \([-a;\ 3]\), при \(-a > 3\) — отрезок \([3;\ -a]\), а при \(a = -3\) трёхчлен равен \((x - 3)^2\) и решение единственное: \(x = 3\).
Модуль \(|x - 2|\) — расстояние от точки \(x\) до точки 2, поэтому при \(b > 0\) второе неравенство задаёт отрезок \([2 - b;\ 2 + b]\), при \(b = 0\) — число 2, а при \(b < 0\) решений не имеет.
Решения неравенств должны совпадать. Первое неравенство решения имеет при любом \(a\), поэтому случай \(b < 0\) отпадает. При \(b = 0\) второе неравенство даёт число 2, а первое — либо отрезок, либо число 3, но не число 2; этот случай тоже отпадает. Значит, \(b > 0\), и отрезок решений первого неравенства должен совпасть с отрезком \([2 - b;\ 2 + b]\).
Если \(-a < 3\), то \(-a = 2 - b\) и \(3 = 2 + b\), откуда \(b = 1\) и \(-a = 1\), то есть \(a = -1\); условия \(-a = 1 < 3\) и \(b = 1 > 0\) выполнены.
Если \(-a > 3\), то \(3 = 2 - b\), откуда \(b = -1 < 0\) — противоречие.
Проверка: при \(a = -1\) первое неравенство принимает вид \((x - 1)(x - 3) \leqslant 0\) и задаёт отрезок \([1;\ 3]\); при \(b = 1\) неравенство \(|x - 2| \leqslant 1\) задаёт тот же отрезок.
2) Так же разложим левую часть на множители:
\[x^2 - (7 - a)x - 7a = x(x - 7) + a(x - 7) = (x - 7)(x + a).\]
Корни — 7 и \(-a\), а парабола ветвями вверх лежит выше оси \(x\) вне корней. При \(-a < 7\) решения первого неравенства — \(x \leqslant -a\) или \(x \geqslant 7\); при \(-a > 7\) — \(x \leqslant 7\) или \(x \geqslant -a\); при \(a = -7\) трёхчлен равен \((x - 7)^2\), и неравенство верно при всех \(x\).
Второе неравенство при \(b > 0\) задаёт \(x \leqslant 5 - b\) или \(x \geqslant 5 + b\), а при \(b \leqslant 0\) верно при всех \(x\), так как модуль неотрицателен.
Совпадение возможно в двух случаях. Первый случай: оба неравенства верны при всех \(x\), то есть \(a = -7\) и \(b \leqslant 0\).
Второй случай: \(b > 0\). Если \(-a < 7\), то \(-a = 5 - b\) и \(7 = 5 + b\), откуда \(b = 2\) и \(-a = 3\), то есть \(a = -3\); условия \(-a = 3 < 7\) и \(b = 2 > 0\) выполнены. Если \(-a > 7\), то \(7 = 5 - b\), откуда \(b = -2 < 0\) — противоречие.
Проверка: при \(a = -3\) первое неравенство принимает вид \((x - 3)(x - 7) \geqslant 0\) и задаёт \(x \leqslant 3\) или \(x \geqslant 7\); при \(b = 2\) неравенство \(|x - 5| \geqslant 2\) задаёт то же множество.
Ответ: 1) \(a = -1\), \(b = 1\); 2) \(a = -7\) и любое \(b \leqslant 0\), а также \(a = -3\), \(b = 2\).
Найти значения параметров \(a\) и \(b\), при которых совпадают решения неравенств: 1) \(x^2 - (3 - a)x - 3a \le 0\) и \(|x - 2| \le b\); 2) \(x^2 - (7 - a)x - 7a \ge 0\) и \(|x - 5| \ge b\).
1) \(x^2 - (3 - a)x - 3a \leqslant 0\) и \(|x - 2| \leqslant b\).
Разложим левую часть первого неравенства на множители:
\[x^2 - (3 - a)x - 3a = x^2 - 3x + ax - 3a = x(x - 3) + a(x - 3) = (x - 3)(x + a).\]
Корни трёхчлена — числа 3 и \(-a\), а парабола ветвями вверх лежит ниже оси \(x\) между корнями. Значит, при \(-a < 3\) решения первого неравенства образуют отрезок \([-a;\ 3]\), при \(-a > 3\) — отрезок \([3;\ -a]\), а при \(a = -3\) трёхчлен равен \((x - 3)^2\) и решение единственное: \(x = 3\).
Модуль разности \(|x - 2|\) — это расстояние от точки \(x\) до точки 2. Поэтому при \(b > 0\) второе неравенство задаёт отрезок \([2 - b;\ 2 + b]\), при \(b = 0\) — единственное число 2, а при \(b < 0\) решений не имеет.
Решения неравенств должны совпадать. Первое неравенство решения имеет при любом \(a\), поэтому случай \(b < 0\) отпадает. При \(b = 0\) второе неравенство даёт число 2, а первое — либо отрезок, либо число 3, но не число 2; этот случай тоже отпадает. Значит, \(b > 0\), и отрезок решений первого неравенства должен совпасть с отрезком \([2 - b;\ 2 + b]\).
Если \(-a < 3\), то \(-a = 2 - b\) и \(3 = 2 + b\), откуда \(b = 1\) и \(-a = 1\), то есть \(a = -1\). Условия \(-a = 1 < 3\) и \(b = 1 > 0\) выполнены.
Если \(-a > 3\), то \(3 = 2 - b\), откуда \(b = -1 < 0\) — противоречие.
Проверка: при \(a = -1\) первое неравенство принимает вид \(x^2 - 4x + 3 \leqslant 0\), то есть \((x - 1)(x - 3) \leqslant 0\), и задаёт отрезок \([1;\ 3]\); при \(b = 1\) второе неравенство \(|x - 2| \leqslant 1\) задаёт тот же отрезок \([1;\ 3]\).
2) \(x^2 - (7 - a)x - 7a \geqslant 0\) и \(|x - 5| \geqslant b\).
Так же разложим левую часть на множители:
\[x^2 - (7 - a)x - 7a = x(x - 7) + a(x - 7) = (x - 7)(x + a).\]
Корни трёхчлена — 7 и \(-a\), а парабола ветвями вверх лежит выше оси \(x\) вне корней. При \(-a < 7\) решения первого неравенства — это \(x \leqslant -a\) или \(x \geqslant 7\); при \(-a > 7\) — это \(x \leqslant 7\) или \(x \geqslant -a\); при \(a = -7\) трёхчлен равен \((x - 7)^2\), и неравенство верно при всех \(x\).
Второе неравенство при \(b > 0\) задаёт \(x \leqslant 5 - b\) или \(x \geqslant 5 + b\), а при \(b \leqslant 0\) верно при всех \(x\), так как модуль неотрицателен.
Совпадение возможно в двух случаях.
Первый случай: оба неравенства верны при всех \(x\). Для первого это значит \(a = -7\), для второго — \(b \leqslant 0\).
Второй случай: \(b > 0\). Тогда решения второго неравенства — два луча с концами \(5 - b\) и \(5 + b\). Если \(-a < 7\), то концы лучей первого неравенства равны \(-a\) и 7, значит, \(-a = 5 - b\) и \(7 = 5 + b\), откуда \(b = 2\) и \(-a = 3\), то есть \(a = -3\); условия \(-a = 3 < 7\) и \(b = 2 > 0\) выполнены. Если \(-a > 7\), то \(7 = 5 - b\), откуда \(b = -2 < 0\) — противоречие.
Проверка: при \(a = -3\) первое неравенство принимает вид \(x^2 - 10x + 21 \geqslant 0\), то есть \((x - 3)(x - 7) \geqslant 0\), и задаёт \(x \leqslant 3\) или \(x \geqslant 7\); при \(b = 2\) второе неравенство \(|x - 5| \geqslant 2\) задаёт то же самое множество.
Ответ: 1) \(a = -1\), \(b = 1\); 2) \(a = -7\) и любое \(b \leqslant 0\), а также \(a = -3\), \(b = 2\).
