Страницы 101-102 номер 4.2.65, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Алёша, Вася и Дима должны были за несколько дней решить одинаковое чётное число задач. Алёша и Вася выполнили задание в срок, причём Алёша решал ежедневно по 7 задач, а Вася за первые 3 дня решил менее 8 задач, а в остальные дни решал по 8 задач. Дима закончил выполнение задания на 8 дней позже назначен- ного срока, решая по 5, а иногда и менее 5 задач в день. Сколько задач было в задании?
Дано:
\(d\) — назначенный срок, дней
\(n\) — число задач в задании, \(n\) — чётное число
Алёша: по 7 задач в день, ровно \(d\) дней
Вася: за первые 3 дня менее 8 задач, в остальные дни по 8 задач, ровно \(d\) дней
Дима: не более 5 задач в день, а иногда и менее 5, всего \(d + 8\) дней
Найти: \(n\).
Решение:
Пусть назначенный срок равен \(d\) дням, а в задании \(n\) задач.
Алёша решал по 7 задач в день ровно \(d\) дней, поэтому
\[n = 7d.\]
Вася за первые 3 дня решил \(k\) задач, где \(k\) целое и \(0 \leqslant k \leqslant 7\), а за остальные \(d - 3\) дня — \(8(d - 3)\) задач. Значит, \(n = k + 8(d - 3)\), откуда
\[8d - 24 \leqslant n \leqslant 8d - 17.\]
Подставим \(n = 7d\): из \(8d - 24 \leqslant 7d\) следует \(d \leqslant 24\), из \(7d \leqslant 8d - 17\) следует \(d \geqslant 17\), значит, \(17 \leqslant d \leqslant 24\).
Число \(n = 7d\) чётно, а 7 нечётно, поэтому чётным должно быть \(d\). Остаются \(d = 18\), \(d = 20\), \(d = 22\), \(d = 24\).
Дима работал \(d + 8\) дней, решая не более 5 задач в день, а иногда и менее, поэтому решил строго меньше, чем \(5(d + 8)\) задач:
\[7d < 5(d + 8), \quad 2d < 40, \quad d < 20.\]
Этому условию удовлетворяет только \(d = 18\), и тогда \(n = 7 \cdot 18 = 126\).
Проверка: Алёша: \(7 \cdot 18 = 126\) задач. Вася за последние \(18 - 3 = 15\) дней решил \(8 \cdot 15 = 120\) задач, значит, за первые 3 дня — \(126 - 120 = 6\) задач, менее 8. Дима работал \(18 + 8 = 26\) дней, и \(126 < 5 \cdot 26 = 130\), поэтому он мог решать по 5 задач в день, а в отдельные дни меньше.
Ответ: 126 задач.
Алёша, Вася и Дима должны были за несколько дней решить одинаковое чётное число задач. Алёша и Вася выполнили задание в срок, причём Алёша решал ежедневно по 7 задач, а Вася за первые 3 дня решил менее 8 задач, а в остальные дни решал по 8 задач. Дима закончил выполнение задания на 8 дней позже назначен- ного срока, решая по 5, а иногда и менее 5 задач в день. Сколько задач было в задании?
Дано:
\(d\) — назначенный срок, дней
\(n\) — число задач в задании, \(n\) — чётное число
Алёша: по 7 задач в день, ровно \(d\) дней
Вася: за первые 3 дня менее 8 задач, в остальные дни по 8 задач, ровно \(d\) дней
Дима: не более 5 задач в день, а иногда и менее 5, всего \(d + 8\) дней
Найти: \(n\).
Решение:
Пусть назначенный срок равен \(d\) дням, а в задании \(n\) задач.
Алёша решал ежедневно по 7 задач и уложился ровно в \(d\) дней, поэтому
\[n = 7d.\]
Вася за первые 3 дня решил \(k\) задач, где \(k\) — целое число и \(0 \leqslant k \leqslant 7\) (менее 8), а за остальные \(d - 3\) дня — по 8 задач, то есть \(8(d - 3)\) задач. Значит, \(n = k + 8(d - 3)\), откуда
\[8d - 24 \leqslant n \leqslant 8d - 17.\]
Подставим \(n = 7d\). Из \(8d - 24 \leqslant 7d\) следует \(d \leqslant 24\), а из \(7d \leqslant 8d - 17\) следует \(d \geqslant 17\). Значит, \(17 \leqslant d \leqslant 24\).
Число задач чётно, а \(n = 7d\), причём 7 нечётно, поэтому чётным должно быть \(d\). Остаются значения \(d = 18\), \(d = 20\), \(d = 22\), \(d = 24\).
Дима работал \(d + 8\) дней и решал не более 5 задач в день, причём в какие-то дни — менее 5. Поэтому всего он решил строго меньше, чем \(5(d + 8)\) задач:
\[7d < 5(d + 8),\] \[2d < 40,\] \[d < 20.\]
Из четырёх оставшихся значений этому условию удовлетворяет только \(d = 18\), и тогда \(n = 7 \cdot 18 = 126\).
Проверка: Алёша решал 18 дней по 7 задач: \(7 \cdot 18 = 126\). Вася за последние \(18 - 3 = 15\) дней решил \(8 \cdot 15 = 120\) задач, значит, за первые 3 дня он решил \(126 - 120 = 6\) задач — менее 8. Дима работал \(18 + 8 = 26\) дней, и \(126 < 5 \cdot 26 = 130\), поэтому он мог решать по 5 задач в день, а в отдельные дни меньше.
Ответ: 126 задач.
