Страница 101 номер 4.2.64, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
У дроби натуральный числитель, а знаменатель больше квадрата числителя на 1. Если и к числителю, и к знаменателю прибавить 5, то дробь станет больше чем \(\frac{1}{2}\). Если и от числителя, и от знаменателя отнять 2, то дробь станет больше чем \(\frac{1}{10}\). Найти знаменатель исходной дроби.
Дано:
\(n\) — числитель дроби, натуральное число
\(n^2 + 1\) — знаменатель дроби
\(\frac{n + 5}{n^2 + 6} > \frac{1}{2}\)
\(\frac{n - 2}{n^2 - 1} > \frac{1}{10}\)
Найти: знаменатель дроби.
Решение:
Пусть числитель равен \(n\) — натуральному числу; знаменатель равен \(n^2 + 1\), а дробь имеет вид \(\frac{n}{n^2 + 1}\).
Знаменатель дроби \(\frac{n + 5}{n^2 + 6}\) положителен, поэтому обе части неравенства \(\frac{n + 5}{n^2 + 6} > \frac{1}{2}\) умножим на \(2\left(n^2 + 6\right)\):
\[2(n + 5) > n^2 + 6, \quad n^2 - 2n - 4 < 0.\]
\(D = 4 + 16 = 20\), корни \(1 - \sqrt{5}\) и \(1 + \sqrt{5}\); парабола ветвями вверх лежит ниже оси \(x\) между корнями, поэтому \(1 - \sqrt{5} < n < 1 + \sqrt{5}\). Так как \(2{,}2^2 = 4{,}84 < 5\) и \(2{,}3^2 = 5{,}29 > 5\), то \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\) и \(3{,}2 < 1 + \sqrt{5} < 3{,}3\). Значит, \(n\) может быть равно 1, 2 или 3.
У дроби \(\frac{n - 2}{n^2 - 1}\) при \(n = 1\) знаменатель обращается в нуль, поэтому \(n \geqslant 2\); при \(n \geqslant 2\) знаменатель положителен, и обе части неравенства \(\frac{n - 2}{n^2 - 1} > \frac{1}{10}\) умножим на \(10\left(n^2 - 1\right)\):
\[10(n - 2) > n^2 - 1, \quad n^2 - 10n + 19 < 0.\]
\(D = 100 - 76 = 24\), корни \(5 - \sqrt{6}\) и \(5 + \sqrt{6}\), поэтому \(5 - \sqrt{6} < n < 5 + \sqrt{6}\). Так как \(2{,}4^2 = 5{,}76 < 6\) и \(2{,}5^2 = 6{,}25 > 6\), то \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\), а значит, \(2{,}5 < 5 - \sqrt{6} < 2{,}6\) и \(7{,}4 < 5 + \sqrt{6} < 7{,}5\). Значит, \(n\) может быть равно 3, 4, 5, 6 или 7.
Обоим условиям удовлетворяет только \(n = 3\), и знаменатель равен \(3^2 + 1 = 10\).
Проверка: исходная дробь \(\frac{3}{10}\). После прибавления 5 получается \(\frac{8}{15} = \frac{16}{30}\), а \(\frac{1}{2} = \frac{15}{30}\), и \(\frac{16}{30} > \frac{15}{30}\). После вычитания 2 получается \(\frac{1}{8}\), и \(\frac{1}{8} > \frac{1}{10}\).
Ответ: 10.
У дроби натуральный числитель, а знаменатель больше квадрата числителя на 1. Если и к числителю, и к знаменателю прибавить 5, то дробь станет больше чем \(\frac{1}{2}\). Если и от числителя, и от знаменателя отнять 2, то дробь станет больше чем \(\frac{1}{10}\). Найти знаменатель исходной дроби.
Дано:
\(n\) — числитель дроби, натуральное число
\(n^2 + 1\) — знаменатель дроби
\(\frac{n + 5}{n^2 + 6} > \frac{1}{2}\)
\(\frac{n - 2}{n^2 - 1} > \frac{1}{10}\)
Найти: знаменатель дроби.
Решение:
Пусть числитель дроби равен \(n\), где \(n\) — натуральное число. Знаменатель больше квадрата числителя на 1, то есть равен \(n^2 + 1\), и сама дробь имеет вид \(\frac{n}{n^2 + 1}\).
Если прибавить 5 и к числителю, и к знаменателю, получится дробь \(\frac{n + 5}{n^2 + 6}\). Её знаменатель положителен, поэтому обе части неравенства \(\frac{n + 5}{n^2 + 6} > \frac{1}{2}\) можно умножить на \(2\left(n^2 + 6\right)\):
\[2(n + 5) > n^2 + 6,\] \[n^2 - 2n - 4 < 0.\]
Дискриминант \(D = 4 + 16 = 20\), корни \(\frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}\) и \(\frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}\). Парабола ветвями вверх лежит ниже оси \(x\) между корнями, поэтому \(1 - \sqrt{5} < n < 1 + \sqrt{5}\). Так как \(2{,}2^2 = 4{,}84 < 5\) и \(2{,}3^2 = 5{,}29 > 5\), то \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\) и \(3{,}2 < 1 + \sqrt{5} < 3{,}3\). Значит, \(n\) может быть равно 1, 2 или 3.
Если отнять 2 и от числителя, и от знаменателя, получится дробь \(\frac{n - 2}{n^2 - 1}\). При \(n = 1\) её знаменатель обращается в нуль, поэтому \(n \geqslant 2\); при \(n \geqslant 2\) знаменатель \(n^2 - 1\) положителен, и обе части неравенства \(\frac{n - 2}{n^2 - 1} > \frac{1}{10}\) можно умножить на \(10\left(n^2 - 1\right)\):
\[10(n - 2) > n^2 - 1,\] \[n^2 - 10n + 19 < 0.\]
Дискриминант \(D = 100 - 76 = 24\), корни \(\frac{10 - 2\sqrt{6}}{2} = 5 - \sqrt{6}\) и \(\frac{10 + 2\sqrt{6}}{2} = 5 + \sqrt{6}\), поэтому \(5 - \sqrt{6} < n < 5 + \sqrt{6}\). Так как \(2{,}4^2 = 5{,}76 < 6\) и \(2{,}5^2 = 6{,}25 > 6\), то \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\), а значит, \(2{,}5 < 5 - \sqrt{6} < 2{,}6\) и \(7{,}4 < 5 + \sqrt{6} < 7{,}5\). Значит, \(n\) может быть равно 3, 4, 5, 6 или 7.
Обоим условиям удовлетворяет только \(n = 3\). Знаменатель исходной дроби равен \(3^2 + 1 = 10\).
Проверка: исходная дробь \(\frac{3}{10}\). После прибавления 5 получается \(\frac{8}{15} = \frac{16}{30}\), а \(\frac{1}{2} = \frac{15}{30}\), и \(\frac{16}{30} > \frac{15}{30}\). После вычитания 2 получается \(\frac{1}{8}\), и \(\frac{1}{8} > \frac{1}{10}\).
Ответ: 10.
