Страница 101 номер 4.2.63, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Дано неравенство \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x + 2} \le 0\). Указать все значения числа \(t\), при которых неравенство имеет следующие решения: 1) один промежуток длины 10; 2) один промежуток длины 10 и точка вне его; 3) одно число; 4) один промежуток, содержащий 7 целых решений.
Дробь имеет смысл при \(x \ne -2\), и её знак совпадает со знаком произведения \((x - 5)^2(x - t)(x + 2)\).
При \(x = 5\) числитель равен нулю, а знаменатель — 7, поэтому дробь равна нулю и число 5 — решение нестрогого неравенства при любом \(t\). При остальных \(x\) множитель \((x - 5)^2\) положителен, и неравенство равносильно
\[(x - t)(x + 2) \leqslant 0 \quad \text{при } x \ne -2.\]
Методом интервалов: при \(t > -2\) — полуинтервал \((-2;\ t]\) (точка \(-2\) выколота, так как обращает знаменатель в нуль); при \(t < -2\) — полуинтервал \([t;\ -2)\); при \(t = -2\) решений нет: единственное решение \(x = -2\) выколото.
Добавим число 5:
при \(t \geqslant 5\) число 5 уже лежит в \((-2;\ t]\) — множество решений \((-2;\ t]\);
при \(-2 < t < 5\) — полуинтервал \((-2;\ t]\) и лежащее вне его число 5;
при \(t < -2\) — полуинтервал \([t;\ -2)\) и лежащее вне его число 5;
при \(t = -2\) множество решений состоит из одного числа 5.
1) Одним промежутком решения задаются при \(t \geqslant 5\); его длина равна \(t + 2\). Из \(t + 2 = 10\) находим \(t = 8\), условие \(t \geqslant 5\) выполнено.
2) Промежуток и точка вне его получаются при \(-2 < t < 5\) (длина промежутка \(t + 2\)) и при \(t < -2\) (длина промежутка \(-2 - t\)).
В первом случае из \(t + 2 = 10\) выходит \(t = 8\), но это значение условию \(-2 < t < 5\) не удовлетворяет.
Во втором случае из \(-2 - t = 10\) находим \(t = -12\), условие \(t < -2\) выполнено.
3) Из одного числа множество решений состоит при \(t = -2\).
4) Один промежуток — полуинтервал \((-2;\ t]\) при \(t \geqslant 5\); целые числа в нём начинаются с \(-1\). Ровно семь целых решений \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5 получаются, когда число 5 в промежуток входит, а число 6 — нет, то есть при \(5 \leqslant t < 6\).
Ответ: 1) \(t = 8\); 2) \(t = -12\); 3) \(t = -2\); 4) \(5 \leqslant t < 6\).
Дано неравенство \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x + 2} \le 0\). Указать все значения числа \(t\), при которых неравенство имеет следующие решения: 1) один промежуток длины 10; 2) один промежуток длины 10 и точка вне его; 3) одно число; 4) один промежуток, содержащий 7 целых решений.
Дробь \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x + 2}\) имеет смысл при \(x \ne -2\), и её знак совпадает со знаком произведения \((x - 5)^2(x - t)(x + 2)\).
При \(x = 5\) числитель равен нулю, а знаменатель равен 7, поэтому дробь равна нулю и число 5 является решением нестрогого неравенства при любом \(t\). При остальных значениях \(x\) множитель \((x - 5)^2\) положителен, и неравенство равносильно
\[(x - t)(x + 2) \leqslant 0 \quad \text{при } x \ne -2.\]
Методом интервалов получаем: при \(t > -2\) — полуинтервал \((-2;\ t]\) (точка \(-2\) выколота, так как она обращает знаменатель в нуль); при \(t < -2\) — полуинтервал \([t;\ -2)\); при \(t = -2\) решений нет, потому что единственное решение \(x = -2\) выколото.
Добавим к найденному число 5:
при \(t \geqslant 5\) число 5 уже лежит в \((-2;\ t]\), и множество решений — полуинтервал \((-2;\ t]\);
при \(-2 < t < 5\) множество решений — полуинтервал \((-2;\ t]\) и лежащее вне его число 5;
при \(t < -2\) множество решений — полуинтервал \([t;\ -2)\) и лежащее вне его число 5;
при \(t = -2\) множество решений состоит из одного числа 5.
1) Одним промежутком решения задаются при \(t \geqslant 5\); его длина равна \(t - (-2) = t + 2\). Из \(t + 2 = 10\) находим \(t = 8\), и условие \(t \geqslant 5\) выполнено.
2) Промежуток и точка вне его получаются при \(-2 < t < 5\) (длина промежутка \(t + 2\)) и при \(t < -2\) (длина промежутка \(-2 - t\)).
В первом случае из \(t + 2 = 10\) выходит \(t = 8\), но это значение не удовлетворяет условию \(-2 < t < 5\).
Во втором случае из \(-2 - t = 10\) находим \(t = -12\), и условие \(t < -2\) выполнено.
3) Из одного числа множество решений состоит при \(t = -2\).
4) Один промежуток — это полуинтервал \((-2;\ t]\) при \(t \geqslant 5\). Целые числа, лежащие в нём, — это \(-1\), 0, 1, 2 и так далее. Ровно семь целых решений \(-1\), 0, 1, 2, 3, 4, 5 получаются тогда, когда число 5 в промежуток входит, а число 6 — нет, то есть при \(5 \leqslant t < 6\).
Ответ: 1) \(t = 8\); 2) \(t = -12\); 3) \(t = -2\); 4) \(5 \leqslant t < 6\).
