Страница 101 номер 4.2.62, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Дано неравенство \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x - 2} < 0\). Указать все значения числа \(t\), при которых: 1) решениями неравенства являются все значения \(x\) одного интервала длины 3; 2) решениями неравенства являются все значения \(x\) только из одного числового промежутка; 3) решениями неравенства являются все значения \(x\) только из двух числовых промежутков; 4) неравенство не имеет решений.
Дробь имеет смысл при \(x \ne 2\), и её знак совпадает со знаком произведения \((x - 5)^2(x - t)(x - 2)\).
При \(x = 5\) дробь равна нулю, и строгому неравенству это значение не удовлетворяет ни при каком \(t\). При остальных \(x\) множитель \((x - 5)^2\) положителен, поэтому неравенство равносильно
\[(x - t)(x - 2) < 0.\]
Методом интервалов: при \(t > 2\) — интервал \((2;\ t)\); при \(t < 2\) — интервал \((t;\ 2)\); при \(t = 2\) неравенство принимает вид \((x - 2)^2 < 0\) и решений не имеет.
Выбросим точку \(x = 5\), если она попала в найденное множество.
При \(t < 2\) интервал \((t;\ 2)\) точку 5 не содержит — множество решений \((t;\ 2)\).
При \(2 < t \leqslant 5\) интервал \((2;\ t)\) точку 5 тоже не содержит — множество решений \((2;\ t)\).
При \(t > 5\) точка 5 лежит внутри интервала \((2;\ t)\) — множество решений \((2;\ 5) \cup (5;\ t)\).
1) Одним интервалом решения задаются при \(t < 2\) и при \(2 < t \leqslant 5\).
Длина интервала \((t;\ 2)\) равна \(2 - t\); из \(2 - t = 3\) находим \(t = -1\), условие \(t < 2\) выполнено.
Длина интервала \((2;\ t)\) равна \(t - 2\); из \(t - 2 = 3\) находим \(t = 5\), условие \(2 < t \leqslant 5\) выполнено.
2) Решения составляют один числовой промежуток в тех же случаях: при \(t < 2\) и при \(2 < t \leqslant 5\).
3) Два числовых промежутка получаются при \(t > 5\).
4) Решений нет при \(t = 2\).
Ответ: 1) \(t = -1\) и \(t = 5\); 2) \(t < 2\) или \(2 < t \leqslant 5\); 3) \(t > 5\); 4) \(t = 2\).
Дано неравенство \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x - 2} < 0\). Указать все значения числа \(t\), при которых: 1) решениями неравенства являются все значения \(x\) одного интервала длины 3; 2) решениями неравенства являются все значения \(x\) только из одного числового промежутка; 3) решениями неравенства являются все значения \(x\) только из двух числовых промежутков; 4) неравенство не имеет решений.
Дробь \(\frac{(x - 5)^2(x - t)}{x - 2}\) имеет смысл при \(x \ne 2\), и её знак совпадает со знаком произведения \((x - 5)^2(x - t)(x - 2)\).
При \(x = 5\) числитель обращается в нуль, дробь равна нулю, и строгому неравенству это значение не удовлетворяет ни при каком \(t\). При остальных значениях \(x\) множитель \((x - 5)^2\) положителен, поэтому неравенство равносильно
\[(x - t)(x - 2) < 0.\]
Решаем его методом интервалов. Если \(t > 2\), множество решений — интервал \((2;\ t)\); если \(t < 2\) — интервал \((t;\ 2)\); если \(t = 2\), то неравенство принимает вид \((x - 2)^2 < 0\) и решений не имеет.
Осталось выбросить из найденного множества точку \(x = 5\), если она в него попала.
При \(t < 2\) интервал \((t;\ 2)\) точку 5 не содержит, и множество решений — интервал \((t;\ 2)\).
При \(2 < t \leqslant 5\) интервал \((2;\ t)\) точку 5 тоже не содержит, и множество решений — интервал \((2;\ t)\).
При \(t > 5\) точка 5 лежит внутри интервала \((2;\ t)\), и множество решений — объединение двух интервалов \((2;\ 5) \cup (5;\ t)\).
1) Одним интервалом решения задаются при \(t < 2\) и при \(2 < t \leqslant 5\).
Длина интервала \((t;\ 2)\) равна \(2 - t\); из \(2 - t = 3\) находим \(t = -1\), и условие \(t < 2\) выполнено.
Длина интервала \((2;\ t)\) равна \(t - 2\); из \(t - 2 = 3\) находим \(t = 5\), и условие \(2 < t \leqslant 5\) выполнено.
2) Решения составляют один числовой промежуток в тех же случаях: при \(t < 2\) и при \(2 < t \leqslant 5\).
3) Два числовых промежутка получаются при \(t > 5\).
4) Решений нет при \(t = 2\).
Ответ: 1) \(t = -1\) и \(t = 5\); 2) \(t < 2\) или \(2 < t \leqslant 5\); 3) \(t > 5\); 4) \(t = 2\).
