Страница 101 номер 4.2.61, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему неравенств: 1) \(\begin{cases}(x - 3)(x^3 - 7x + 2) \ge 0,\\ x^3 - 7x + 1 > 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x + 1}{\sqrt[4]{y}} < 0,\\[4pt] \sqrt{y} - x > 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x + y - z > 4,\\ (x - 2)^2 \le -y^2 + 6y - 9;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}|x^2 - 7x + 10| + |-x^2 + (2 + \pi)x - 2\pi| \le 0,\\ x^7 - 5x^5 + 30 < 0.\end{cases}\)
1) Из второго неравенства \(x^3 - 7x + 1 > 0\), а тогда
\[x^3 - 7x + 2 = \left(x^3 - 7x + 1\right) + 1 > 1 > 0.\]
Второй множитель первого неравенства положителен, поэтому первое неравенство равносильно \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
Проверим второе неравенство при \(x \geqslant 3\): из \(x \geqslant 3\) следует \(x^2 \geqslant 9\), то есть \(x^2 - 7 \geqslant 2 > 0\); перемножая почленно неравенства \(x \geqslant 3\) и \(x^2 - 7 \geqslant 2\) с положительными частями, получаем \(x\left(x^2 - 7\right) \geqslant 6\), откуда \(x^3 - 7x + 1 \geqslant 7 > 0\).
Значит, решения системы — все \(x \geqslant 3\).
2) Выражение \(\sqrt[4]{y}\) имеет смысл при \(y \geqslant 0\), а в знаменателе оно ещё и отлично от нуля, поэтому \(y > 0\); при \(y > 0\) значение \(\sqrt[4]{y}\) положительно.
Знаменатель первой дроби положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя, и первое неравенство равносильно \(x + 1 < 0\), то есть \(x < -1\).
Второе неравенство означает \(\sqrt{y} > x\); при \(y > 0\) значение \(\sqrt{y}\) положительно, а \(x < -1 < 0\), поэтому оно выполняется при всех таких \(x\) и \(y\).
Значит, решения системы — все пары, у которых \(x < -1\) и \(y > 0\).
3) Перенесём всё во втором неравенстве в левую часть:
\[(x - 2)^2 + y^2 - 6y + 9 \leqslant 0, \quad (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \leqslant 0.\]
Сумма двух квадратов неотрицательна, поэтому она не больше нуля только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: \(x = 2\) и \(y = 3\).
Подставим их в первое неравенство: \(2 + 3 - z > 4\), то есть \(5 - z > 4\), откуда \(z < 1\).
4) Сумма двух модулей неотрицательна, поэтому первое неравенство выполняется только тогда, когда оба модуля равны нулю.
Уравнение \(x^2 - 7x + 10 = 0\): \(D = 49 - 40 = 9\), корни 2 и 5.
Уравнение \(-x^2 + (2 + \pi)x - 2\pi = 0\) равносильно \(x^2 - (2 + \pi)x + 2\pi = 0\), а так как \(x^2 - (2 + \pi)x + 2\pi = (x - 2)(x - \pi)\), его корни — 2 и \(\pi\).
Общий корень один: \(x = 2\).
Проверим второе неравенство: при \(x = 2\) получаем \(2^7 - 5 \cdot 2^5 + 30 = 128 - 160 + 30 = -2 < 0\) — верно.
Значит, решение системы — число 2.
Ответ: 1) \(x \geqslant 3\); 2) \(x < -1\), \(y > 0\); 3) \(x = 2\), \(y = 3\), \(z < 1\); 4) \(x = 2\).
Решить систему неравенств: 1) \(\begin{cases}(x - 3)(x^3 - 7x + 2) \ge 0,\\ x^3 - 7x + 1 > 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x + 1}{\sqrt[4]{y}} < 0,\\[4pt] \sqrt{y} - x > 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x + y - z > 4,\\ (x - 2)^2 \le -y^2 + 6y - 9;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}|x^2 - 7x + 10| + |-x^2 + (2 + \pi)x - 2\pi| \le 0,\\ x^7 - 5x^5 + 30 < 0.\end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} (x - 3)\left(x^3 - 7x + 2\right) \geqslant 0, \\ x^3 - 7x + 1 > 0. \end{cases}\]
Из второго неравенства \(x^3 - 7x + 1 > 0\), а тогда
\[x^3 - 7x + 2 = \left(x^3 - 7x + 1\right) + 1 > 1 > 0.\]
Значит, второй множитель первого неравенства положителен, и первое неравенство равносильно \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
Проверим, что при \(x \geqslant 3\) второе неравенство выполняется. Из \(x \geqslant 3\) следует \(x^2 \geqslant 9\), то есть \(x^2 - 7 \geqslant 2 > 0\). Перемножая почленно неравенства \(x \geqslant 3\) и \(x^2 - 7 \geqslant 2\) с положительными частями, получаем \(x\left(x^2 - 7\right) \geqslant 6\), откуда \(x^3 - 7x + 1 \geqslant 7 > 0\).
Значит, решения системы — все \(x \geqslant 3\).
2)
\[\begin{cases} \dfrac{x + 1}{\sqrt[4]{y}} < 0, \\[6pt] \sqrt{y} - x > 0. \end{cases}\]
Выражение \(\sqrt[4]{y}\) имеет смысл при \(y \geqslant 0\), а в знаменателе оно ещё и отлично от нуля, поэтому \(y > 0\); при \(y > 0\) значение \(\sqrt[4]{y}\) положительно.
Знаменатель первой дроби положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя, и первое неравенство равносильно \(x + 1 < 0\), то есть \(x < -1\).
Второе неравенство означает \(\sqrt{y} > x\). При \(y > 0\) значение \(\sqrt{y}\) положительно, а \(x < -1 < 0\), поэтому это неравенство выполняется при всех таких \(x\) и \(y\).
Значит, решения системы — все пары, у которых \(x < -1\) и \(y > 0\).
3)
\[\begin{cases} x + y - z > 4, \\ (x - 2)^2 \leqslant -y^2 + 6y - 9. \end{cases}\]
Перенесём всё во втором неравенстве в левую часть:
\[(x - 2)^2 + y^2 - 6y + 9 \leqslant 0,\] \[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 \leqslant 0.\]
Сумма двух квадратов неотрицательна, поэтому она не больше нуля только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: \(x = 2\) и \(y = 3\).
Подставим эти значения в первое неравенство: \(2 + 3 - z > 4\), то есть \(5 - z > 4\), откуда \(z < 1\).
4)
\[\begin{cases} \left|x^2 - 7x + 10\right| + \left|-x^2 + (2 + \pi)x - 2\pi\right| \leqslant 0, \\ x^7 - 5x^5 + 30 < 0. \end{cases}\]
Сумма двух модулей неотрицательна, поэтому первое неравенство выполняется только тогда, когда оба модуля равны нулю.
Уравнение \(x^2 - 7x + 10 = 0\): дискриминант \(D = 49 - 40 = 9\), корни 2 и 5.
Уравнение \(-x^2 + (2 + \pi)x - 2\pi = 0\) равносильно \(x^2 - (2 + \pi)x + 2\pi = 0\), а так как \(x^2 - (2 + \pi)x + 2\pi = (x - 2)(x - \pi)\), его корни — 2 и \(\pi\).
Общий корень у этих уравнений один: \(x = 2\).
Проверим второе неравенство системы: при \(x = 2\) получаем \(2^7 - 5 \cdot 2^5 + 30 = 128 - 160 + 30 = -2 < 0\) — верно.
Значит, решение системы — число 2.
Ответ: 1) \(x \geqslant 3\); 2) \(x < -1\), \(y > 0\); 3) \(x = 2\), \(y = 3\), \(z < 1\); 4) \(x = 2\).
