Страница 100 номер 4.2.60, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: 1) \(|x^2 + 5x| < 6\); 2) \(|2x^2 - 9x + 15| \ge 20\); 3) \(x^2 - |x| > 2\); 4) \(\left|x^2 - 2|x| - 3\right| < 2\).
Неравенство \(|A| < c\) при \(c > 0\) означает \(-c < A < c\), а неравенство \(|A| > c\) — что \(A < -c\) или \(A > c\).
1) \(-6 < x^2 + 5x < 6\) — это система
\[\begin{cases} x^2 + 5x > -6, \\ x^2 + 5x < 6. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^2 + 5x + 6 > 0\); \(D = 25 - 24 = 1\), корни \(-3\) и \(-2\); парабола ветвями вверх лежит выше оси \(x\) вне корней, поэтому \(x < -3\) или \(x > -2\).
Второе неравенство: \(x^2 + 5x - 6 < 0\); \(D = 25 + 24 = 49\), корни \(-6\) и 1; парабола ниже оси \(x\) между корнями, поэтому \(-6 < x < 1\).
Общая часть: \(-6 < x < -3\) или \(-2 < x < 1\).
2) У трёхчлена \(2x^2 - 9x + 15\) дискриминант \(D = 81 - 120 = -39 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен положителен при всех \(x\) и модуль снимается:
\[2x^2 - 9x + 15 \geqslant 20, \quad 2x^2 - 9x - 5 \geqslant 0.\]
\(D = 81 + 40 = 121\), корни \(\frac{9 - 11}{4} = -0{,}5\) и \(\frac{9 + 11}{4} = 5\). Парабола ветвями вверх, поэтому \(x \leqslant -0{,}5\) или \(x \geqslant 5\).
3) Так как \(x^2 = |x|^2\), обозначим \(t = |x|\), причём \(t \geqslant 0\): \(t^2 - t - 2 > 0\); \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(-1\) и 2, поэтому \(t < -1\) или \(t > 2\). Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t > 2\), то есть \(|x| > 2\), откуда \(x < -2\) или \(x > 2\).
4) Положим \(t = |x|\), тогда \(t \geqslant 0\) и \(x^2 = t^2\), а неравенство принимает вид \(|t^2 - 2t - 3| < 2\), то есть
\[-2 < t^2 - 2t - 3 < 2.\]
Левое неравенство: \(t^2 - 2t - 1 > 0\); \(D = 4 + 4 = 8\), корни \(1 - \sqrt{2}\) и \(1 + \sqrt{2}\), поэтому \(t < 1 - \sqrt{2}\) или \(t > 1 + \sqrt{2}\). Так как \(\sqrt{2} > 1\), число \(1 - \sqrt{2}\) отрицательно, и условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t > 1 + \sqrt{2}\).
Правое неравенство: \(t^2 - 2t - 5 < 0\); \(D = 4 + 20 = 24\), корни \(1 - \sqrt{6}\) и \(1 + \sqrt{6}\), поэтому \(1 - \sqrt{6} < t < 1 + \sqrt{6}\).
Общая часть с учётом \(t \geqslant 0\): \(1 + \sqrt{2} < |x| < 1 + \sqrt{6}\).
Если \(x > 0\), то \(1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{6}\).
Если \(x < 0\), то \(1 + \sqrt{2} < -x < 1 + \sqrt{6}\); умножив все части на \(-1\) и изменив знаки неравенств на противоположные, получаем \(-1 - \sqrt{6} < x < -1 - \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(-6 < x < -3\) или \(-2 < x < 1\); 2) \(x \leqslant -0{,}5\) или \(x \geqslant 5\); 3) \(x < -2\) или \(x > 2\); 4) \(-1 - \sqrt{6} < x < -1 - \sqrt{2}\) или \(1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{6}\).
Решить неравенство: 1) \(|x^2 + 5x| < 6\); 2) \(|2x^2 - 9x + 15| \ge 20\); 3) \(x^2 - |x| > 2\); 4) \(\left|x^2 - 2|x| - 3\right| < 2\).
Модуль числа — расстояние от него до нуля на координатной прямой. Поэтому неравенство \(|A| < c\) при \(c > 0\) означает \(-c < A < c\), а неравенство \(|A| > c\) означает, что \(A < -c\) или \(A > c\).
1) \(|x^2 + 5x| < 6\), то есть \(-6 < x^2 + 5x < 6\). Это двойное неравенство — другая запись системы
\[\begin{cases} x^2 + 5x > -6, \\ x^2 + 5x < 6. \end{cases}\]
Первое неравенство: \(x^2 + 5x + 6 > 0\). Дискриминант \(D = 25 - 24 = 1\), корни \(-3\) и \(-2\); парабола ветвями вверх лежит выше оси \(x\) вне корней, поэтому \(x < -3\) или \(x > -2\).
Второе неравенство: \(x^2 + 5x - 6 < 0\). Дискриминант \(D = 25 + 24 = 49\), корни \(-6\) и 1; парабола ниже оси \(x\) между корнями, поэтому \(-6 < x < 1\).
Общая часть: \(-6 < x < -3\) или \(-2 < x < 1\).
2) \(|2x^2 - 9x + 15| \geqslant 20\). У трёхчлена \(2x^2 - 9x + 15\) дискриминант \(D = 81 - 120 = -39 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен положителен при всех \(x\) и модуль снимается:
\[2x^2 - 9x + 15 \geqslant 20,\] \[2x^2 - 9x - 5 \geqslant 0.\]
Дискриминант \(D = 81 + 40 = 121\), корни \(\frac{9 - 11}{4} = -0{,}5\) и \(\frac{9 + 11}{4} = 5\). Парабола ветвями вверх, поэтому \(x \leqslant -0{,}5\) или \(x \geqslant 5\).
3) \(x^2 - |x| > 2\). Так как \(x^2 = |x|^2\), обозначим \(t = |x|\); при этом \(t \geqslant 0\). Получаем \(t^2 - t - 2 > 0\). Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(-1\) и 2, поэтому \(t < -1\) или \(t > 2\). Условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t > 2\), то есть \(|x| > 2\), откуда \(x < -2\) или \(x > 2\).
4) \(\left|x^2 - 2|x| - 3\right| < 2\). Положим \(t = |x|\), тогда \(t \geqslant 0\) и \(x^2 = t^2\), а неравенство принимает вид \(|t^2 - 2t - 3| < 2\), то есть
\[-2 < t^2 - 2t - 3 < 2.\]
Левое неравенство: \(t^2 - 2t - 1 > 0\). Дискриминант \(D = 4 + 4 = 8\), корни \(\frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}\) и \(\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}\), поэтому \(t < 1 - \sqrt{2}\) или \(t > 1 + \sqrt{2}\). Так как \(\sqrt{2} > 1\), число \(1 - \sqrt{2}\) отрицательно, и условию \(t \geqslant 0\) отвечает только \(t > 1 + \sqrt{2}\).
Правое неравенство: \(t^2 - 2t - 5 < 0\). Дискриминант \(D = 4 + 20 = 24\), корни \(1 - \sqrt{6}\) и \(1 + \sqrt{6}\), поэтому \(1 - \sqrt{6} < t < 1 + \sqrt{6}\).
Общая часть с учётом \(t \geqslant 0\): \(1 + \sqrt{2} < t < 1 + \sqrt{6}\), то есть \(1 + \sqrt{2} < |x| < 1 + \sqrt{6}\).
Если \(x > 0\), то \(|x| = x\) и \(1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{6}\). Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и \(1 + \sqrt{2} < -x < 1 + \sqrt{6}\); умножив все части на \(-1\) и изменив знаки неравенств на противоположные, получаем \(-1 - \sqrt{6} < x < -1 - \sqrt{2}\).
Ответ: 1) \(-6 < x < -3\) или \(-2 < x < 1\); 2) \(x \leqslant -0{,}5\) или \(x \geqslant 5\); 3) \(x < -2\) или \(x > 2\); 4) \(-1 - \sqrt{6} < x < -1 - \sqrt{2}\) или \(1 + \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{6}\).
