Страница 100 номер 4.2.59, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти значения \(b\), при которых все действительные значения \(x\) являются решениями неравенства: 1) \(x^2 - 4x + b > 0\); 2) \(x^2 + bx + 10 > 0\); 3) \(bx^2 - 2bx - 1 > 0\); 4) \((b^2 - 1)x^2 + 2(b - 1)x + 2 > 0\); 5) \(\frac{6x^2 - 2x + 1}{9x^2 - 3x + 1} \ge b\); 6) \(\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \le b\).
Неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) при \(a \ne 0\) верно для всех \(x\) тогда и только тогда, когда \(a > 0\) и \(D < 0\); для нестрогого неравенства условие принимает вид \(D \leqslant 0\). Случай нулевого старшего коэффициента разбираем отдельно.
1) Старший коэффициент равен 1, поэтому нужно только \(D < 0\): \(D = 16 - 4b < 0\), откуда \(4b > 16\) и \(b > 4\).
2) Старший коэффициент положителен, поэтому нужно \(D < 0\):
\[D = b^2 - 40 < 0.\]
Так как \(40 = \left(2\sqrt{10}\right)^2\), это неравенство записывается как \(\left(b - 2\sqrt{10}\right)\left(b + 2\sqrt{10}\right) < 0\), откуда \(-2\sqrt{10} < b < 2\sqrt{10}\).
3) При \(x = 0\) левая часть равна \(-1\), и неравенство обращается в неверное \(-1 > 0\). Значит, \(x = 0\) не является решением ни при каком \(b\), и таких \(b\) не существует.
4) Пусть \(b^2 - 1 = 0\), то есть \(b = 1\) или \(b = -1\).
При \(b = 1\) неравенство принимает вид \(2 > 0\) — верно при всех \(x\), значение подходит.
При \(b = -1\) неравенство принимает вид \(-4x + 2 > 0\), то есть \(x < 0{,}5\) — верно не при всех \(x\), значение не подходит.
Пусть \(b^2 - 1 \ne 0\). Тогда нужно \(b^2 - 1 > 0\) и \(D < 0\):
\[\begin{aligned} &D = 4(b - 1)^2 - 8(b^2 - 1) = 4(b - 1)^2 - 8(b - 1)(b + 1) = {} \\ &= 4(b - 1)\bigl((b - 1) - 2(b + 1)\bigr) = 4(b - 1)(-b - 3). \end{aligned}\]
Неравенство \(4(b - 1)(-b - 3) < 0\) равносильно \((b - 1)(b + 3) > 0\), откуда \(b < -3\) или \(b > 1\).
Неравенство \((b - 1)(b + 1) > 0\) даёт \(b < -1\) или \(b > 1\).
Оба условия выполняются при \(b < -3\) и при \(b > 1\); вместе со значением \(b = 1\) получаем \(b < -3\) или \(b \geqslant 1\).
5) У трёхчлена \(9x^2 - 3x + 1\) дискриминант \(D = 9 - 36 = -27 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому знаменатель положителен при всех \(x\); умножим на него обе части:
\[6x^2 - 2x + 1 \geqslant b\left(9x^2 - 3x + 1\right), \quad (6 - 9b)x^2 + (3b - 2)x + (1 - b) \geqslant 0.\]
Если \(6 - 9b = 0\), то \(b = \frac{2}{3}\); тогда \(3b - 2 = 0\), \(1 - b = \frac{1}{3}\), и неравенство принимает вид \(\frac{1}{3} \geqslant 0\) — верно при всех \(x\), значение подходит.
Если \(6 - 9b \ne 0\), то нужно \(6 - 9b > 0\), то есть \(b < \frac{2}{3}\), и \(D \leqslant 0\):
\[\begin{aligned} &D = (3b - 2)^2 - 4(6 - 9b)(1 - b) = 9b^2 - 12b + 4 - 4\left(9b^2 - 15b + 6\right) = {} \\ &= 9b^2 - 12b + 4 - 36b^2 + 60b - 24 = -27b^2 + 48b - 20. \end{aligned}\]
Неравенство \(-27b^2 + 48b - 20 \leqslant 0\) равносильно \(27b^2 - 48b + 20 \geqslant 0\). Уравнение \(27b^2 - 48b + 20 = 0\): дискриминант \(2304 - 2160 = 144\), корни \(\frac{48 - 12}{54} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{48 + 12}{54} = \frac{10}{9}\); старший коэффициент положителен, поэтому \(27b^2 - 48b + 20 \geqslant 0\) при \(b \leqslant \frac{2}{3}\) и при \(b \geqslant \frac{10}{9}\).
Вместе с условием \(b < \frac{2}{3}\) это даёт \(b < \frac{2}{3}\); добавляя значение \(b = \frac{2}{3}\), получаем \(b \leqslant \frac{2}{3}\).
6) У трёхчлена \(4x^2 - 2x + 1\) дискриминант \(D = 4 - 16 = -12 < 0\), старший коэффициент положителен, знаменатель положителен при всех \(x\); умножим на него обе части:
\[8x^2 - 4x + 3 \leqslant b\left(4x^2 - 2x + 1\right), \quad (4b - 8)x^2 + (4 - 2b)x + (b - 3) \geqslant 0.\]
Если \(4b - 8 = 0\), то \(b = 2\); тогда \(4 - 2b = 0\), \(b - 3 = -1\), и неравенство принимает вид \(-1 \geqslant 0\) — неверно, значение не подходит.
Если \(4b - 8 \ne 0\), то нужно \(4b - 8 > 0\), то есть \(b > 2\), и \(D \leqslant 0\):
\[\begin{aligned} &D = (4 - 2b)^2 - 4(4b - 8)(b - 3) = 4(b - 2)^2 - 16(b - 2)(b - 3) = {} \\ &= 4(b - 2)\bigl((b - 2) - 4(b - 3)\bigr) = 4(b - 2)(10 - 3b). \end{aligned}\]
При \(b > 2\) множитель \(b - 2\) положителен, поэтому \(4(b - 2)(10 - 3b) \leqslant 0\) равносильно \(10 - 3b \leqslant 0\), то есть \(b \geqslant \frac{10}{3}\). Это условие сильнее, чем \(b > 2\).
Ответ: 1) \(b > 4\); 2) \(-2\sqrt{10} < b < 2\sqrt{10}\); 3) таких значений \(b\) не существует; 4) \(b < -3\) или \(b \geqslant 1\); 5) \(b \leqslant \frac{2}{3}\); 6) \(b \geqslant \frac{10}{3}\).
Найти значения \(b\), при которых все действительные значения \(x\) являются решениями неравенства: 1) \(x^2 - 4x + b > 0\); 2) \(x^2 + bx + 10 > 0\); 3) \(bx^2 - 2bx - 1 > 0\); 4) \((b^2 - 1)x^2 + 2(b - 1)x + 2 > 0\); 5) \(\frac{6x^2 - 2x + 1}{9x^2 - 3x + 1} \ge b\); 6) \(\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \le b\).
Неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) с \(a \ne 0\) верно при всех значениях \(x\) тогда и только тогда, когда парабола \(y = ax^2 + bx + c\) целиком лежит выше оси \(x\), то есть когда \(a > 0\) и трёхчлен не имеет корней, а значит, \(D < 0\). Для нестрогого неравенства \(ax^2 + bx + c \geqslant 0\) парабола может и касаться оси \(x\), поэтому условие на дискриминант принимает вид \(D \leqslant 0\). Случай, когда старший коэффициент обращается в нуль, разбираем отдельно.
1) \(x^2 - 4x + b > 0\). Старший коэффициент равен 1 и положителен, поэтому нужно только, чтобы трёхчлен не имел корней: \(D = 16 - 4b < 0\), откуда \(4b > 16\) и \(b > 4\).
2) \(x^2 + bx + 10 > 0\). Старший коэффициент положителен, значит, нужно \(D < 0\):
\[D = b^2 - 40 < 0.\]
Так как \(40 = \left(2\sqrt{10}\right)^2\), это неравенство записывается как \(\left(b - 2\sqrt{10}\right)\left(b + 2\sqrt{10}\right) < 0\), откуда \(-2\sqrt{10} < b < 2\sqrt{10}\).
3) \(bx^2 - 2bx - 1 > 0\). При \(x = 0\) левая часть равна \(b \cdot 0 - 2b \cdot 0 - 1 = -1\), и неравенство обращается в неверное числовое неравенство \(-1 > 0\). Значит, \(x = 0\) не является решением ни при каком значении \(b\), и таких \(b\), при которых решениями были бы все действительные числа, не существует.
4) \((b^2 - 1)x^2 + 2(b - 1)x + 2 > 0\).
Пусть сначала \(b^2 - 1 = 0\), то есть \(b = 1\) или \(b = -1\).
При \(b = 1\) неравенство принимает вид \(2 > 0\) — оно верно при всех \(x\), значение подходит.
При \(b = -1\) неравенство принимает вид \(-4x + 2 > 0\), то есть \(x < 0{,}5\) — верно не при всех \(x\), значение не подходит.
Пусть теперь \(b^2 - 1 \ne 0\). Тогда нужно, чтобы \(b^2 - 1 > 0\) и \(D < 0\). Найдём дискриминант:
\[\begin{aligned} &D = 4(b - 1)^2 - 8(b^2 - 1) = 4(b - 1)^2 - 8(b - 1)(b + 1) = {} \\ &= 4(b - 1)\bigl((b - 1) - 2(b + 1)\bigr) = 4(b - 1)(-b - 3). \end{aligned}\]
Неравенство \(4(b - 1)(-b - 3) < 0\) равносильно \((b - 1)(b + 3) > 0\), откуда \(b < -3\) или \(b > 1\).
Неравенство \(b^2 - 1 > 0\), то есть \((b - 1)(b + 1) > 0\), даёт \(b < -1\) или \(b > 1\).
Оба условия выполняются при \(b < -3\) и при \(b > 1\). Вместе с найденным значением \(b = 1\) получаем \(b < -3\) или \(b \geqslant 1\).
5) \(\frac{6x^2 - 2x + 1}{9x^2 - 3x + 1} \geqslant b\).
Знаменатель: у трёхчлена \(9x^2 - 3x + 1\) дискриминант \(D = 9 - 36 = -27 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому знаменатель положителен при всех \(x\). Умножим на него обе части неравенства:
\[6x^2 - 2x + 1 \geqslant b\left(9x^2 - 3x + 1\right),\] \[(6 - 9b)x^2 + (3b - 2)x + (1 - b) \geqslant 0.\]
Это неравенство должно быть верно при всех \(x\).
Если \(6 - 9b = 0\), то \(b = \frac{2}{3}\); тогда \(3b - 2 = 0\), \(1 - b = \frac{1}{3}\), и неравенство принимает вид \(\frac{1}{3} \geqslant 0\) — оно верно при всех \(x\), значение подходит.
Если \(6 - 9b \ne 0\), то нужно, чтобы \(6 - 9b > 0\) и \(D \leqslant 0\). Первое условие даёт \(b < \frac{2}{3}\). Дискриминант равен
\[\begin{aligned} &D = (3b - 2)^2 - 4(6 - 9b)(1 - b) = 9b^2 - 12b + 4 - 4\left(9b^2 - 15b + 6\right) = {} \\ &= 9b^2 - 12b + 4 - 36b^2 + 60b - 24 = -27b^2 + 48b - 20. \end{aligned}\]
Неравенство \(-27b^2 + 48b - 20 \leqslant 0\) равносильно \(27b^2 - 48b + 20 \geqslant 0\). Уравнение \(27b^2 - 48b + 20 = 0\) имеет дискриминант \(2304 - 2160 = 144\) и корни \(\frac{48 - 12}{54} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{48 + 12}{54} = \frac{10}{9}\). Старший коэффициент положителен, поэтому \(27b^2 - 48b + 20 \geqslant 0\) при \(b \leqslant \frac{2}{3}\) и при \(b \geqslant \frac{10}{9}\).
Вместе с условием \(b < \frac{2}{3}\) это даёт \(b < \frac{2}{3}\). Добавляя значение \(b = \frac{2}{3}\), получаем \(b \leqslant \frac{2}{3}\).
6) \(\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \leqslant b\).
У трёхчлена \(4x^2 - 2x + 1\) дискриминант \(D = 4 - 16 = -12 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому знаменатель положителен при всех \(x\). Умножим на него обе части:
\[8x^2 - 4x + 3 \leqslant b\left(4x^2 - 2x + 1\right),\] \[(4b - 8)x^2 + (4 - 2b)x + (b - 3) \geqslant 0.\]
Если \(4b - 8 = 0\), то \(b = 2\); тогда \(4 - 2b = 0\), \(b - 3 = -1\), и неравенство принимает вид \(-1 \geqslant 0\) — оно неверно, значение не подходит.
Если \(4b - 8 \ne 0\), то нужно, чтобы \(4b - 8 > 0\), то есть \(b > 2\), и \(D \leqslant 0\). Дискриминант равен
\[\begin{aligned} &D = (4 - 2b)^2 - 4(4b - 8)(b - 3) = 4(b - 2)^2 - 16(b - 2)(b - 3) = {} \\ &= 4(b - 2)\bigl((b - 2) - 4(b - 3)\bigr) = 4(b - 2)(10 - 3b). \end{aligned}\]
При \(b > 2\) множитель \(b - 2\) положителен, поэтому неравенство \(4(b - 2)(10 - 3b) \leqslant 0\) равносильно \(10 - 3b \leqslant 0\), то есть \(b \geqslant \frac{10}{3}\). Это условие сильнее, чем \(b > 2\).
Ответ: 1) \(b > 4\); 2) \(-2\sqrt{10} < b < 2\sqrt{10}\); 3) таких значений \(b\) не существует; 4) \(b < -3\) или \(b \geqslant 1\); 5) \(b \leqslant \frac{2}{3}\); 6) \(b \geqslant \frac{10}{3}\).
