Страница 100 номер 4.2.58, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство для каждого значения параметра \(m\): 1) \(x < \frac{x + 1}{m}\); 2) \(\frac{mx + 1}{3 - m} < \frac{5}{3 - m}\).
1) \(x < \frac{x + 1}{m}\).
При \(m = 0\) правая часть не определена ни при каком \(x\), решений нет.
Пусть \(m > 0\). Умножим обе части на \(m\), знак сохраняется:
\[mx < x + 1, \quad (m - 1)x < 1.\]
Если \(m > 1\), то \(m - 1 > 0\) и \(x < \frac{1}{m - 1}\).
Если \(m = 1\), то неравенство принимает вид \(0 < 1\); оно верно при любом \(x\).
Если \(0 < m < 1\), то \(m - 1 < 0\), и при делении знак меняется: \(x > \frac{1}{m - 1}\).
Пусть \(m < 0\). При умножении на \(m\) знак меняется:
\[mx > x + 1, \quad (m - 1)x > 1.\]
Здесь \(m - 1 < 0\), поэтому при делении знак меняется снова: \(x < \frac{1}{m - 1}\).
2) \(\frac{mx + 1}{3 - m} < \frac{5}{3 - m}\).
При \(m = 3\) знаменатель \(3 - m\) обращается в нуль, неравенство смысла не имеет, решений нет.
Пусть \(m < 3\). Тогда \(3 - m > 0\); умножим на \(3 - m\), знак сохраняется:
\[mx + 1 < 5, \quad mx < 4.\]
Если \(0 < m < 3\), то \(x < \frac{4}{m}\).
Если \(m = 0\), то неравенство принимает вид \(0 < 4\); оно верно при любом \(x\).
Если \(m < 0\), то при делении на \(m\) знак меняется: \(x > \frac{4}{m}\).
Пусть \(m > 3\). Тогда \(3 - m < 0\), и при умножении на \(3 - m\) знак меняется:
\[mx + 1 > 5, \quad mx > 4.\]
Здесь \(m > 3 > 0\), поэтому \(x > \frac{4}{m}\).
Ответ: 1) если \(m < 0\), то \(x < \frac{1}{m - 1}\); если \(m = 0\), то решений нет; если \(0 < m < 1\), то \(x > \frac{1}{m - 1}\); если \(m = 1\), то \(x\) — любое число; если \(m > 1\), то \(x < \frac{1}{m - 1}\); 2) если \(m < 0\), то \(x > \frac{4}{m}\); если \(m = 0\), то \(x\) — любое число; если \(0 < m < 3\), то \(x < \frac{4}{m}\); если \(m = 3\), то решений нет; если \(m > 3\), то \(x > \frac{4}{m}\).
Решить неравенство для каждого значения параметра \(m\): 1) \(x < \frac{x + 1}{m}\); 2) \(\frac{mx + 1}{3 - m} < \frac{5}{3 - m}\).
1) \(x < \frac{x + 1}{m}\).
Дробь \(\frac{x + 1}{m}\) имеет смысл только при \(m \ne 0\); при \(m = 0\) правая часть не определена ни при каком \(x\), неравенство смысла не имеет и решений нет.
Пусть \(m > 0\). Умножим обе части на \(m\); знак неравенства сохраняется:
\[mx < x + 1,\] \[(m - 1)x < 1.\]
Если \(m > 1\), то \(m - 1 > 0\) и \(x < \frac{1}{m - 1}\).
Если \(m = 1\), то неравенство принимает вид \(0 \cdot x < 1\), то есть \(0 < 1\); оно верно при любом \(x\).
Если \(0 < m < 1\), то \(m - 1 < 0\), и при делении на \(m - 1\) знак меняется: \(x > \frac{1}{m - 1}\).
Пусть теперь \(m < 0\). При умножении обеих частей на \(m\) знак неравенства меняется:
\[mx > x + 1,\] \[(m - 1)x > 1.\]
Здесь \(m - 1 < 0\), поэтому при делении знак меняется снова: \(x < \frac{1}{m - 1}\).
2) \(\frac{mx + 1}{3 - m} < \frac{5}{3 - m}\).
Обе части имеют смысл только при \(m \ne 3\); при \(m = 3\) знаменатель \(3 - m\) обращается в нуль, неравенство смысла не имеет и решений нет.
Пусть \(m < 3\). Тогда \(3 - m > 0\); умножим обе части на \(3 - m\), знак сохраняется:
\[mx + 1 < 5,\] \[mx < 4.\]
Если \(0 < m < 3\), то \(x < \frac{4}{m}\).
Если \(m = 0\), то неравенство принимает вид \(0 < 4\); оно верно при любом \(x\).
Если \(m < 0\), то при делении на \(m\) знак меняется: \(x > \frac{4}{m}\).
Пусть \(m > 3\). Тогда \(3 - m < 0\), и при умножении обеих частей на \(3 - m\) знак меняется:
\[mx + 1 > 5,\] \[mx > 4.\]
Здесь \(m > 3 > 0\), поэтому \(x > \frac{4}{m}\).
Ответ: 1) если \(m < 0\), то \(x < \frac{1}{m - 1}\); если \(m = 0\), то решений нет; если \(0 < m < 1\), то \(x > \frac{1}{m - 1}\); если \(m = 1\), то \(x\) — любое число; если \(m > 1\), то \(x < \frac{1}{m - 1}\); 2) если \(m < 0\), то \(x > \frac{4}{m}\); если \(m = 0\), то \(x\) — любое число; если \(0 < m < 3\), то \(x < \frac{4}{m}\); если \(m = 3\), то решений нет; если \(m > 3\), то \(x > \frac{4}{m}\).
