Страница 100 номер 4.2.57, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Для каждого значения \(a\) решить неравенство: а) 1) \(ax < 2\); 2) \(ax \ge -3\); 3) \((a - 1)x \ge -5\); б) 1) \((4 - a)x < 7\); 2) \((a + 1)x < a^2 - 1\); 3) \((a - 3)x > a^2 - 9\).
Разбираем три случая: коэффициент при \(x\) положителен (знак неравенства сохраняется), отрицателен (при делении на него знак неравенства меняется на противоположный) и равен нулю.
а) 1) \(ax < 2\).
Если \(a > 0\), то \(x < \frac{2}{a}\).
Если \(a = 0\), то неравенство принимает вид \(0 < 2\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 0\), то при делении на \(a\) знак меняется: \(x > \frac{2}{a}\).
а) 2) \(ax \geqslant -3\).
Если \(a > 0\), то \(x \geqslant -\frac{3}{a}\).
Если \(a = 0\), то неравенство принимает вид \(0 \geqslant -3\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 0\), то \(x \leqslant -\frac{3}{a}\).
а) 3) \((a - 1)x \geqslant -5\).
Если \(a > 1\), то \(a - 1 > 0\) и \(x \geqslant -\frac{5}{a - 1}\).
Если \(a = 1\), то неравенство принимает вид \(0 \geqslant -5\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 1\), то множитель \(a - 1\) отрицателен и \(x \leqslant -\frac{5}{a - 1}\).
б) 1) \((4 - a)x < 7\).
Если \(a < 4\), то \(4 - a > 0\) и \(x < \frac{7}{4 - a}\).
Если \(a = 4\), то неравенство принимает вид \(0 < 7\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a > 4\), то множитель \(4 - a\) отрицателен и \(x > \frac{7}{4 - a}\).
б) 2) \((a + 1)x < a^2 - 1\), причём \(a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\).
Если \(a > -1\), то \(a + 1 > 0\) и, разделив на \(a + 1\), получаем \(x < a - 1\).
Если \(a = -1\), то неравенство принимает вид \(0 < 0\); решений нет.
Если \(a < -1\), то множитель \(a + 1\) отрицателен и \(x > a - 1\).
б) 3) \((a - 3)x > a^2 - 9\), причём \(a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)\).
Если \(a > 3\), то \(a - 3 > 0\) и \(x > a + 3\).
Если \(a = 3\), то неравенство принимает вид \(0 > 0\); решений нет.
Если \(a < 3\), то множитель \(a - 3\) отрицателен и \(x < a + 3\).
Ответ: а) 1) если \(a < 0\), то \(x > \frac{2}{a}\); если \(a = 0\), то \(x\) — любое число; если \(a > 0\), то \(x < \frac{2}{a}\); 2) если \(a < 0\), то \(x \leqslant -\frac{3}{a}\); если \(a = 0\), то \(x\) — любое число; если \(a > 0\), то \(x \geqslant -\frac{3}{a}\); 3) если \(a < 1\), то \(x \leqslant -\frac{5}{a - 1}\); если \(a = 1\), то \(x\) — любое число; если \(a > 1\), то \(x \geqslant -\frac{5}{a - 1}\); б) 1) если \(a < 4\), то \(x < \frac{7}{4 - a}\); если \(a = 4\), то \(x\) — любое число; если \(a > 4\), то \(x > \frac{7}{4 - a}\); 2) если \(a < -1\), то \(x > a - 1\); если \(a = -1\), то решений нет; если \(a > -1\), то \(x < a - 1\); 3) если \(a < 3\), то \(x < a + 3\); если \(a = 3\), то решений нет; если \(a > 3\), то \(x > a + 3\).
Для каждого значения \(a\) решить неравенство: а) 1) \(ax < 2\); 2) \(ax \ge -3\); 3) \((a - 1)x \ge -5\); б) 1) \((4 - a)x < 7\); 2) \((a + 1)x < a^2 - 1\); 3) \((a - 3)x > a^2 - 9\).
В каждом неравенстве коэффициент при \(x\) зависит от \(a\), поэтому разбираем три случая: коэффициент положителен (делим на него обе части, знак неравенства сохраняется), отрицателен (делим, изменив знак неравенства на противоположный) и равен нулю (получается неравенство вида \(0 \cdot x > b\), которое либо верно при любом \(x\), либо не имеет решений).
а) 1) \(ax < 2\).
Если \(a > 0\), то \(x < \frac{2}{a}\).
Если \(a = 0\), то неравенство принимает вид \(0 \cdot x < 2\), то есть \(0 < 2\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 0\), то при делении на \(a\) знак меняется: \(x > \frac{2}{a}\).
а) 2) \(ax \geqslant -3\).
Если \(a > 0\), то \(x \geqslant -\frac{3}{a}\).
Если \(a = 0\), то неравенство принимает вид \(0 \geqslant -3\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 0\), то \(x \leqslant -\frac{3}{a}\).
а) 3) \((a - 1)x \geqslant -5\).
Если \(a - 1 > 0\), то есть \(a > 1\), то \(x \geqslant -\frac{5}{a - 1}\).
Если \(a = 1\), то неравенство принимает вид \(0 \geqslant -5\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a < 1\), то множитель \(a - 1\) отрицателен и \(x \leqslant -\frac{5}{a - 1}\).
б) 1) \((4 - a)x < 7\).
Если \(4 - a > 0\), то есть \(a < 4\), то \(x < \frac{7}{4 - a}\).
Если \(a = 4\), то неравенство принимает вид \(0 < 7\); оно верно при любом \(x\).
Если \(a > 4\), то множитель \(4 - a\) отрицателен и \(x > \frac{7}{4 - a}\).
б) 2) \((a + 1)x < a^2 - 1\). Правая часть раскладывается на множители: \(a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\).
Если \(a + 1 > 0\), то есть \(a > -1\), то, разделив обе части на \(a + 1\), получаем \(x < a - 1\).
Если \(a = -1\), то неравенство принимает вид \(0 \cdot x < 0\), то есть \(0 < 0\); оно неверно ни при каком \(x\), решений нет.
Если \(a < -1\), то множитель \(a + 1\) отрицателен и \(x > a - 1\).
б) 3) \((a - 3)x > a^2 - 9\), причём \(a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)\).
Если \(a - 3 > 0\), то есть \(a > 3\), то \(x > a + 3\).
Если \(a = 3\), то неравенство принимает вид \(0 > 0\); решений нет.
Если \(a < 3\), то множитель \(a - 3\) отрицателен и \(x < a + 3\).
Ответ: а) 1) если \(a < 0\), то \(x > \frac{2}{a}\); если \(a = 0\), то \(x\) — любое число; если \(a > 0\), то \(x < \frac{2}{a}\); 2) если \(a < 0\), то \(x \leqslant -\frac{3}{a}\); если \(a = 0\), то \(x\) — любое число; если \(a > 0\), то \(x \geqslant -\frac{3}{a}\); 3) если \(a < 1\), то \(x \leqslant -\frac{5}{a - 1}\); если \(a = 1\), то \(x\) — любое число; если \(a > 1\), то \(x \geqslant -\frac{5}{a - 1}\); б) 1) если \(a < 4\), то \(x < \frac{7}{4 - a}\); если \(a = 4\), то \(x\) — любое число; если \(a > 4\), то \(x > \frac{7}{4 - a}\); 2) если \(a < -1\), то \(x > a - 1\); если \(a = -1\), то решений нет; если \(a > -1\), то \(x < a - 1\); 3) если \(a < 3\), то \(x < a + 3\); если \(a = 3\), то решений нет; если \(a > 3\), то \(x > a + 3\).
