Страница 100 номер 4.2.56, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: а) 1) \(|x - 1| + |x - 2| < 3\); 2) \(|x + 1| + |x - 3| > 6\); 3) \(|5 - x| - |2x + 3| \ge x + 1\); 4) \(|3x - 1| - |2 - x| \le 3x - 1\); б) 1) \(\frac{|x - 3|}{x + 2} > 3\); 2) \(\frac{x - 4}{|x + 1|} < 2\); 3) \(\frac{2x + |x - 1|}{x - 3} < 1\); 4) \(\frac{3x + |x + 2|}{x - 2} > 1\).
В неравенствах блока а) нули подмодульных выражений разбивают числовую прямую на промежутки; на каждом промежутке раскрываем модули и в конце объединяем найденные решения.
а) 1) Нули подмодульных выражений — 1 и 2.
При \(x < 1\): \(|x - 1| = 1 - x\), \(|x - 2| = 2 - x\), неравенство \(3 - 2x < 3\) даёт \(-2x < 0\), то есть \(x > 0\); вместе с \(x < 1\) получаем \(0 < x < 1\).
При \(1 \leqslant x \leqslant 2\): \(|x - 1| = x - 1\), \(|x - 2| = 2 - x\), левая часть равна \(x - 1 + 2 - x = 1\); неравенство \(1 < 3\) верно, годится весь промежуток.
При \(x > 2\): \(|x - 1| = x - 1\), \(|x - 2| = x - 2\), неравенство \(2x - 3 < 3\) даёт \(x < 3\); вместе с \(x > 2\) получаем \(2 < x < 3\).
Объединяя, получаем \(0 < x < 3\).
а) 2) Нули подмодульных выражений — \(-1\) и 3.
При \(x < -1\): \(|x + 1| = -x - 1\), \(|x - 3| = 3 - x\), неравенство \(-x - 1 + 3 - x > 6\) даёт \(-2x > 4\), то есть \(x < -2\); вместе с \(x < -1\) получаем \(x < -2\).
При \(-1 \leqslant x \leqslant 3\): левая часть равна \(x + 1 + 3 - x = 4\); неравенство \(4 > 6\) неверно, решений нет.
При \(x > 3\): \(|x + 1| = x + 1\), \(|x - 3| = x - 3\), неравенство \(2x - 2 > 6\) даёт \(x > 4\); вместе с \(x > 3\) получаем \(x > 4\).
Значит, \(x < -2\) или \(x > 4\).
а) 3) Выражение \(5 - x\) обращается в нуль при \(x = 5\), выражение \(2x + 3\) — при \(x = -1{,}5\).
При \(x < -1{,}5\): \(|5 - x| = 5 - x\), \(|2x + 3| = -2x - 3\), левая часть равна \(5 - x + 2x + 3 = x + 8\); неравенство \(x + 8 \geqslant x + 1\) равносильно верному \(8 \geqslant 1\), годится весь промежуток \(x < -1{,}5\).
При \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 5\): \(|5 - x| = 5 - x\), \(|2x + 3| = 2x + 3\), левая часть равна \(5 - x - 2x - 3 = 2 - 3x\); неравенство \(2 - 3x \geqslant x + 1\) даёт \(1 \geqslant 4x\), то есть \(x \leqslant 0{,}25\); вместе с условием промежутка получаем \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 0{,}25\).
При \(x > 5\): \(|5 - x| = x - 5\), \(|2x + 3| = 2x + 3\), левая часть равна \(x - 5 - 2x - 3 = -x - 8\); неравенство \(-x - 8 \geqslant x + 1\) даёт \(x \leqslant -4{,}5\), что несовместимо с \(x > 5\), решений нет.
Объединяя, получаем \(x \leqslant 0{,}25\).
а) 4) Нули подмодульных выражений — \(\frac{1}{3}\) и 2.
При \(x < \frac{1}{3}\): \(|3x - 1| = 1 - 3x\), \(|2 - x| = 2 - x\), левая часть равна \(1 - 3x - 2 + x = -1 - 2x\); неравенство \(-1 - 2x \leqslant 3x - 1\) даёт \(0 \leqslant 5x\), то есть \(x \geqslant 0\); получаем \(0 \leqslant x < \frac{1}{3}\).
При \(\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\): левая часть равна \(3x - 1 - 2 + x = 4x - 3\); неравенство \(4x - 3 \leqslant 3x - 1\) даёт \(x \leqslant 2\) — верно на всём промежутке.
При \(x > 2\): \(|2 - x| = x - 2\), левая часть равна \(3x - 1 - x + 2 = 2x + 1\); неравенство \(2x + 1 \leqslant 3x - 1\) даёт \(x \geqslant 2\) — верно на всём промежутке.
Объединяя, получаем \(x \geqslant 0\).
б) 1) Дробь имеет смысл при \(x \ne -2\).
При \(x < -2\) знаменатель отрицателен, а числитель неотрицателен, поэтому дробь неположительна и числа 3 превзойти не может: решений нет.
При \(x > -2\) знаменатель положителен, и обе части умножаем на \(x + 2\):
\[|x - 3| > 3x + 6.\]
При \(-2 < x < 3\): \(3 - x > 3x + 6\), то есть \(-3 > 4x\) и \(x < -0{,}75\); вместе с условием промежутка это даёт \(-2 < x < -0{,}75\).
При \(x \geqslant 3\): \(x - 3 > 3x + 6\), то есть \(x < -4{,}5\), что несовместимо с \(x \geqslant 3\).
Значит, \(-2 < x < -0{,}75\).
б) 2) Дробь имеет смысл при \(x \ne -1\); при этом \(|x + 1| > 0\), и обе части умножаем на \(|x + 1|\):
\[x - 4 < 2|x + 1|.\]
При \(x > -1\): \(|x + 1| = x + 1\), и неравенство \(x - 4 < 2x + 2\) даёт \(x > -6\) — верно при всех \(x > -1\).
При \(x < -1\): \(|x + 1| = -x - 1\), и неравенство \(x - 4 < -2x - 2\) даёт \(3x < 2\), то есть \(x < \frac{2}{3}\) — верно при всех \(x < -1\).
Значит, неравенство верно при всех \(x \ne -1\).
б) 3) Перенесём 1 в левую часть и приведём к одной дроби:
\[\frac{2x + |x - 1| - (x - 3)}{x - 3} < 0, \quad \frac{x + 3 + |x - 1|}{x - 3} < 0.\]
Числитель положителен при всех \(x\): при \(x \geqslant 1\) он равен \(x + 3 + x - 1 = 2x + 2\), а это не меньше 4; при \(x < 1\) он равен \(x + 3 + 1 - x = 4\). Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен знаменатель: \(x - 3 < 0\), то есть \(x < 3\).
б) 4) Перенесём 1 в левую часть:
\[\frac{3x + |x + 2| - (x - 2)}{x - 2} > 0, \quad \frac{2x + 2 + |x + 2|}{x - 2} > 0.\]
При \(x \geqslant -2\) числитель равен \(2x + 2 + x + 2 = 3x + 4\): он отрицателен при \(x < -\frac{4}{3}\), равен нулю при \(x = -\frac{4}{3}\) и положителен при \(x > -\frac{4}{3}\). При \(x < -2\) числитель равен \(2x + 2 - x - 2 = x\), а такое \(x\) отрицательно.
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. Оба положительны при \(x > 2\); оба отрицательны при \(x < -\frac{4}{3}\).
Значит, \(x < -\frac{4}{3}\) или \(x > 2\).
Ответ: а) 1) \(0 < x < 3\); 2) \(x < -2\) или \(x > 4\); 3) \(x \leqslant 0{,}25\); 4) \(x \geqslant 0\); б) 1) \(-2 < x < -0{,}75\); 2) любое \(x \ne -1\); 3) \(x < 3\); 4) \(x < -\frac{4}{3}\) или \(x > 2\).
Решить неравенство: а) 1) \(|x - 1| + |x - 2| < 3\); 2) \(|x + 1| + |x - 3| > 6\); 3) \(|5 - x| - |2x + 3| \ge x + 1\); 4) \(|3x - 1| - |2 - x| \le 3x - 1\); б) 1) \(\frac{|x - 3|}{x + 2} > 3\); 2) \(\frac{x - 4}{|x + 1|} < 2\); 3) \(\frac{2x + |x - 1|}{x - 3} < 1\); 4) \(\frac{3x + |x + 2|}{x - 2} > 1\).
По определению модуля \(|a| = a\) при \(a \geqslant 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\). Поэтому в неравенствах блока а) отмечаем значения, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль, разбиваем ими числовую прямую на промежутки и на каждом промежутке раскрываем модули по этому определению; решения, найденные на каждом промежутке, в конце объединяем.
а) 1) \(|x - 1| + |x - 2| < 3\). Подмодульные выражения обращаются в нуль при \(x = 1\) и \(x = 2\).
При \(x < 1\) оба они отрицательны: \(|x - 1| = 1 - x\), \(|x - 2| = 2 - x\), и неравенство принимает вид \(1 - x + 2 - x < 3\), то есть \(3 - 2x < 3\), откуда \(-2x < 0\) и \(x > 0\). Вместе с условием \(x < 1\) получаем \(0 < x < 1\).
При \(1 \leqslant x \leqslant 2\) имеем \(|x - 1| = x - 1\), \(|x - 2| = 2 - x\), и левая часть равна \(x - 1 + 2 - x = 1\). Неравенство \(1 < 3\) верно, поэтому годится весь промежуток \(1 \leqslant x \leqslant 2\).
При \(x > 2\) имеем \(|x - 1| = x - 1\), \(|x - 2| = x - 2\), и неравенство принимает вид \(2x - 3 < 3\), откуда \(x < 3\). Вместе с условием \(x > 2\) получаем \(2 < x < 3\).
Объединяя найденное, получаем \(0 < x < 3\).
а) 2) \(|x + 1| + |x - 3| > 6\). Нули подмодульных выражений — \(-1\) и 3.
При \(x < -1\): \(|x + 1| = -x - 1\), \(|x - 3| = 3 - x\), неравенство \(-x - 1 + 3 - x > 6\) даёт \(-2x > 4\), то есть \(x < -2\). Вместе с \(x < -1\) получаем \(x < -2\).
При \(-1 \leqslant x \leqslant 3\): \(|x + 1| = x + 1\), \(|x - 3| = 3 - x\), левая часть равна \(x + 1 + 3 - x = 4\). Неравенство \(4 > 6\) неверно, решений на этом промежутке нет.
При \(x > 3\): \(|x + 1| = x + 1\), \(|x - 3| = x - 3\), неравенство \(2x - 2 > 6\) даёт \(x > 4\). Вместе с \(x > 3\) получаем \(x > 4\).
Значит, \(x < -2\) или \(x > 4\).
а) 3) \(|5 - x| - |2x + 3| \geqslant x + 1\). Выражение \(5 - x\) обращается в нуль при \(x = 5\), выражение \(2x + 3\) — при \(x = -1{,}5\).
При \(x < -1{,}5\): \(|5 - x| = 5 - x\), \(|2x + 3| = -2x - 3\), левая часть равна \(5 - x + 2x + 3 = x + 8\). Неравенство \(x + 8 \geqslant x + 1\) равносильно верному числовому неравенству \(8 \geqslant 1\), поэтому годится весь промежуток \(x < -1{,}5\).
При \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 5\): \(|5 - x| = 5 - x\), \(|2x + 3| = 2x + 3\), левая часть равна \(5 - x - 2x - 3 = 2 - 3x\). Неравенство \(2 - 3x \geqslant x + 1\) даёт \(1 \geqslant 4x\), то есть \(x \leqslant 0{,}25\). Вместе с условием промежутка получаем \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 0{,}25\).
При \(x > 5\): \(|5 - x| = x - 5\), \(|2x + 3| = 2x + 3\), левая часть равна \(x - 5 - 2x - 3 = -x - 8\). Неравенство \(-x - 8 \geqslant x + 1\) даёт \(-9 \geqslant 2x\), то есть \(x \leqslant -4{,}5\), что несовместимо с \(x > 5\); решений на этом промежутке нет.
Объединяя, получаем \(x \leqslant 0{,}25\).
а) 4) \(|3x - 1| - |2 - x| \leqslant 3x - 1\). Нули подмодульных выражений — \(\frac{1}{3}\) и 2.
При \(x < \frac{1}{3}\): \(|3x - 1| = 1 - 3x\), \(|2 - x| = 2 - x\), левая часть равна \(1 - 3x - 2 + x = -1 - 2x\). Неравенство \(-1 - 2x \leqslant 3x - 1\) даёт \(-2x \leqslant 3x\), то есть \(0 \leqslant 5x\) и \(x \geqslant 0\). Вместе с условием промежутка получаем \(0 \leqslant x < \frac{1}{3}\).
При \(\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\): \(|3x - 1| = 3x - 1\), \(|2 - x| = 2 - x\), левая часть равна \(3x - 1 - 2 + x = 4x - 3\). Неравенство \(4x - 3 \leqslant 3x - 1\) даёт \(x \leqslant 2\) — оно верно на всём промежутке.
При \(x > 2\): \(|3x - 1| = 3x - 1\), \(|2 - x| = x - 2\), левая часть равна \(3x - 1 - x + 2 = 2x + 1\). Неравенство \(2x + 1 \leqslant 3x - 1\) даёт \(x \geqslant 2\) — оно верно на всём промежутке.
Объединяя, получаем \(x \geqslant 0\).
б) 1) \(\frac{|x - 3|}{x + 2} > 3\). Дробь имеет смысл при \(x \ne -2\).
При \(x < -2\) знаменатель отрицателен, а числитель неотрицателен, поэтому дробь неположительна и числа 3 превзойти не может: решений нет.
При \(x > -2\) знаменатель положителен, и обе части можно умножить на \(x + 2\):
\[|x - 3| > 3x + 6.\]
При \(-2 < x < 3\) получаем \(3 - x > 3x + 6\), то есть \(-3 > 4x\) и \(x < -0{,}75\); вместе с условием промежутка это даёт \(-2 < x < -0{,}75\).
При \(x \geqslant 3\) получаем \(x - 3 > 3x + 6\), то есть \(-9 > 2x\) и \(x < -4{,}5\), что несовместимо с \(x \geqslant 3\).
Значит, \(-2 < x < -0{,}75\).
б) 2) \(\frac{x - 4}{|x + 1|} < 2\). Дробь имеет смысл при \(x \ne -1\); при этом \(|x + 1| > 0\), и обе части можно умножить на \(|x + 1|\):
\[x - 4 < 2|x + 1|.\]
При \(x > -1\): \(|x + 1| = x + 1\), и неравенство \(x - 4 < 2x + 2\) даёт \(x > -6\) — оно верно при всех \(x > -1\).
При \(x < -1\): \(|x + 1| = -x - 1\), и неравенство \(x - 4 < -2x - 2\) даёт \(3x < 2\), то есть \(x < \frac{2}{3}\) — оно верно при всех \(x < -1\).
Значит, неравенство верно при всех \(x \ne -1\).
б) 3) \(\frac{2x + |x - 1|}{x - 3} < 1\). Перенесём 1 в левую часть и приведём к одной дроби:
\[\frac{2x + |x - 1| - (x - 3)}{x - 3} < 0,\] \[\frac{x + 3 + |x - 1|}{x - 3} < 0.\]
Числитель положителен при всех \(x\): при \(x \geqslant 1\) он равен \(x + 3 + x - 1 = 2x + 2\), а это не меньше 4; при \(x < 1\) он равен \(x + 3 + 1 - x = 4\). Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен знаменатель: \(x - 3 < 0\), то есть \(x < 3\).
б) 4) \(\frac{3x + |x + 2|}{x - 2} > 1\). Перенесём 1 в левую часть:
\[\frac{3x + |x + 2| - (x - 2)}{x - 2} > 0,\] \[\frac{2x + 2 + |x + 2|}{x - 2} > 0.\]
Разберём знак числителя. При \(x \geqslant -2\) он равен \(2x + 2 + x + 2 = 3x + 4\): это выражение отрицательно при \(x < -\frac{4}{3}\), равно нулю при \(x = -\frac{4}{3}\) и положительно при \(x > -\frac{4}{3}\). При \(x < -2\) числитель равен \(2x + 2 - x - 2 = x\), а такое \(x\) отрицательно. Значит, числитель отрицателен при \(x < -\frac{4}{3}\), равен нулю при \(x = -\frac{4}{3}\) и положителен при \(x > -\frac{4}{3}\).
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. Оба положительны при \(x > -\frac{4}{3}\) и \(x > 2\), то есть при \(x > 2\); оба отрицательны при \(x < -\frac{4}{3}\) и \(x < 2\), то есть при \(x < -\frac{4}{3}\).
Значит, \(x < -\frac{4}{3}\) или \(x > 2\).
Ответ: а) 1) \(0 < x < 3\); 2) \(x < -2\) или \(x > 4\); 3) \(x \leqslant 0{,}25\); 4) \(x \geqslant 0\); б) 1) \(-2 < x < -0{,}75\); 2) любое \(x \ne -1\); 3) \(x < 3\); 4) \(x < -\frac{4}{3}\) или \(x > 2\).
