Страница 100 номер 4.2.55, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству или системе: 1) \((y - x)(y + 2x) \ge 0\); 2) \((y - 2x)(y + x) \le 0\); 3) \(\frac{y - 3x}{y + 5} \le 0\); 4) \(\frac{y - 4}{y + 2x} \ge 0\); 5) \(|x| < y < 3\); 6) \(-2 < y < -|x|\); 7) \(\begin{cases}y \ge 2x,\\ y \ge 3 - x,\\ y \le 3;\end{cases}\) 8) \(\begin{cases}y \le \frac{x}{2} + 4,\\[4pt] y \ge 2,\\ x \le 3.\end{cases}\)
Граничную линию проводим сплошной, если её точки множеству принадлежат, и штриховой, если не принадлежат; какие части плоскости входят в множество, проверяем по одной точке в каждой.
1) Множители обращаются в нуль на прямых \(y = x\) и \(y = -2x\), которые разбивают плоскость на четыре угла с общей вершиной \((0;\ 0)\). В точке \((0;\ 1)\) получаем \((1 - 0)(1 + 0) = 1 > 0\) — принадлежит; в точке \((1;\ 0)\) получаем \((0 - 1)(0 + 2) = -2 < 0\) — не принадлежит; в точке \((0;\ -1)\) получаем \((-1)\cdot(-1) = 1 > 0\) — принадлежит. Множество — пара вертикальных углов, содержащих ось \(y\), вместе с обеими прямыми (неравенство нестрогое).
2) Границы — прямые \(y = 2x\) и \(y = -x\). В точке \((1;\ 0)\) получаем \((0 - 2)(0 + 1) = -2 < 0\) — принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) получаем \(1 \cdot 1 = 1 > 0\) — не принадлежит. Множество — пара вертикальных углов, содержащих ось \(x\), вместе с обеими прямыми.
3) Дробь имеет смысл при \(y \ne -5\), и её знак совпадает со знаком произведения \((y - 3x)(y + 5)\). Границы — прямые \(y = 3x\) и \(y = -5\); они пересекаются в точке \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\), так как \(3x = -5\) при \(x = -\frac{5}{3}\). В точке \((0;\ -1)\) получаем \((-1 - 0)(-1 + 5) = -4 < 0\) — принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) получаем \(1 \cdot 6 = 6 > 0\) — не принадлежит; в точке \((-5;\ -6)\) получаем \((-6 + 15)(-6 + 5) = -9 < 0\) — принадлежит. Множество — пара вертикальных углов с вершиной \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\): один содержит точку \((0;\ -1)\), другой — точку \((-5;\ -6)\). Прямая \(y = 3x\) входит в множество (кроме точки пересечения прямых), прямая \(y = -5\) не входит.
4) Дробь имеет смысл при \(y \ne -2x\), и её знак совпадает со знаком произведения \((y - 4)(y + 2x)\). Границы — прямые \(y = 4\) и \(y = -2x\); они пересекаются в точке \((-2;\ 4)\). В точке \((0;\ 5)\) получаем \((5 - 4)(5 + 0) = 5 > 0\) — принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) получаем \((1 - 4)(1 + 0) = -3 < 0\) — не принадлежит; в точке \((0;\ -1)\) получаем \((-1 - 4)(-1 + 0) = 5 > 0\) — принадлежит. Множество — пара вертикальных углов с вершиной \((-2;\ 4)\): верхний угол содержит точку \((0;\ 5)\), нижний — точку \((0;\ -1)\). Прямая \(y = 4\) входит в множество (кроме точки пересечения прямых), прямая \(y = -2x\) не входит.
5) \(|x| < y < 3\) — это система \(y > |x|\) и \(y < 3\): точки выше графика \(y = |x|\) и ниже прямой \(y = 3\). График \(y = |x|\) пересекает прямую \(y = 3\) в точках \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\). Оба неравенства строгие, поэтому множество — треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 3)\) без сторон.
6) \(-2 < y < -|x|\) — это система \(y > -2\) и \(y < -|x|\). График \(y = -|x|\) — уголок с вершиной в начале координат, ветви которого направлены вниз; он пересекает прямую \(y = -2\) в точках \((-2;\ -2)\) и \((2;\ -2)\). Множество — треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-2;\ -2)\), \((2;\ -2)\) без сторон.
7) Система задаёт общую часть трёх полуплоскостей: не ниже прямой \(y = 2x\), не ниже прямой \(y = 3 - x\), не выше прямой \(y = 3\). Прямые \(y = 2x\) и \(y = 3 - x\) пересекаются при \(2x = 3 - x\), то есть при \(x = 1\), \(y = 2\); прямая \(y = 2x\) пересекает прямую \(y = 3\) при \(x = 1{,}5\); прямая \(y = 3 - x\) — при \(x = 0\). Все три неравенства нестрогие, поэтому множество — треугольник с вершинами \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 3)\), \((0;\ 3)\) вместе со сторонами.
8) Система задаёт общую часть трёх полуплоскостей: не выше прямой \(y = \frac{x}{2} + 4\), не ниже прямой \(y = 2\), левее прямой \(x = 3\) или на ней. Прямая \(y = \frac{x}{2} + 4\) пересекает прямую \(y = 2\) при \(\frac{x}{2} = -2\), то есть при \(x = -4\); при \(x = 3\) она даёт \(y = 1{,}5 + 4 = 5{,}5\). Множество — треугольник с вершинами \((-4;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 5{,}5)\) вместе со сторонами.
Ответ: 1) пара вертикальных углов, образованных прямыми \(y = x\) и \(y = -2x\) и содержащих ось \(y\), вместе с обеими прямыми; 2) пара вертикальных углов, образованных прямыми \(y = 2x\) и \(y = -x\) и содержащих ось \(x\), вместе с обеими прямыми; 3) пара вертикальных углов с вершиной \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\), содержащих точки \((0;\ -1)\) и \((-5;\ -6)\), вместе с прямой \(y = 3x\) и без прямой \(y = -5\); 4) пара вертикальных углов с вершиной \((-2;\ 4)\), содержащих точки \((0;\ 5)\) и \((0;\ -1)\), вместе с прямой \(y = 4\) и без прямой \(y = -2x\); 5) треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 3)\) без сторон; 6) треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-2;\ -2)\), \((2;\ -2)\) без сторон; 7) треугольник с вершинами \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 3)\), \((0;\ 3)\) вместе со сторонами; 8) треугольник с вершинами \((-4;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 5{,}5)\) вместе со сторонами.
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству или системе: 1) \((y - x)(y + 2x) \ge 0\); 2) \((y - 2x)(y + x) \le 0\); 3) \(\frac{y - 3x}{y + 5} \le 0\); 4) \(\frac{y - 4}{y + 2x} \ge 0\); 5) \(|x| < y < 3\); 6) \(-2 < y < -|x|\); 7) \(\begin{cases}y \ge 2x,\\ y \ge 3 - x,\\ y \le 3;\end{cases}\) 8) \(\begin{cases}y \le \frac{x}{2} + 4,\\[4pt] y \ge 2,\\ x \le 3.\end{cases}\)
Каждое множество ограничено прямыми или графиком \(y = |x|\). Граничную линию проводим сплошной, если её точки множеству принадлежат, и штриховой, если не принадлежат. Чтобы понять, какие из образовавшихся частей плоскости входят в множество, достаточно проверить в каждой из них по одной точке.
1) \((y - x)(y + 2x) \geqslant 0\). Множители обращаются в нуль на прямых \(y = x\) и \(y = -2x\), которые разбивают плоскость на четыре угла с общей вершиной \((0;\ 0)\). В точке \((0;\ 1)\) произведение равно \((1 - 0)(1 + 0) = 1 > 0\) — точка множеству принадлежит; в точке \((1;\ 0)\) оно равно \((0 - 1)(0 + 2) = -2 < 0\) — не принадлежит; в точке \((0;\ -1)\) оно равно \((-1)\cdot(-1) = 1 > 0\) — принадлежит. Значит, множество — пара вертикальных углов, содержащих ось \(y\), вместе с обеими прямыми (неравенство нестрогое).
2) \((y - 2x)(y + x) \leqslant 0\). Границы — прямые \(y = 2x\) и \(y = -x\). В точке \((1;\ 0)\) произведение равно \((0 - 2)(0 + 1) = -2 < 0\) — точка принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) оно равно \(1 \cdot 1 = 1 > 0\) — не принадлежит. Значит, множество — пара вертикальных углов, содержащих ось \(x\), вместе с обеими прямыми.
3) \(\frac{y - 3x}{y + 5} \leqslant 0\). Дробь имеет смысл при \(y \ne -5\), и её знак совпадает со знаком произведения \((y - 3x)(y + 5)\). Границы — прямая \(y = 3x\) и прямая \(y = -5\); они пересекаются в точке \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\), так как \(3x = -5\) при \(x = -\frac{5}{3}\). В точке \((0;\ -1)\) произведение равно \((-1 - 0)(-1 + 5) = -4 < 0\) — точка принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) оно равно \(1 \cdot 6 = 6 > 0\) — не принадлежит; в точке \((-5;\ -6)\) оно равно \((-6 + 15)(-6 + 5) = -9 < 0\) — принадлежит. Значит, множество — пара вертикальных углов с вершиной \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\): один содержит точку \((0;\ -1)\), другой — точку \((-5;\ -6)\). Прямая \(y = 3x\) входит в множество (кроме точки пересечения прямых), прямая \(y = -5\) не входит.
4) \(\frac{y - 4}{y + 2x} \geqslant 0\). Дробь имеет смысл при \(y \ne -2x\), и её знак совпадает со знаком произведения \((y - 4)(y + 2x)\). Границы — прямые \(y = 4\) и \(y = -2x\); они пересекаются в точке \((-2;\ 4)\). В точке \((0;\ 5)\) произведение равно \((5 - 4)(5 + 0) = 5 > 0\) — точка принадлежит; в точке \((0;\ 1)\) оно равно \((1 - 4)(1 + 0) = -3 < 0\) — не принадлежит; в точке \((0;\ -1)\) оно равно \((-1 - 4)(-1 + 0) = 5 > 0\) — принадлежит. Значит, множество — пара вертикальных углов с вершиной \((-2;\ 4)\): верхний угол содержит точку \((0;\ 5)\), нижний — точку \((0;\ -1)\). Прямая \(y = 4\) входит в множество (кроме точки пересечения прямых), прямая \(y = -2x\) не входит.
5) \(|x| < y < 3\) — это система \(y > |x|\) и \(y < 3\). Первое неравенство задаёт точки, лежащие выше графика \(y = |x|\), второе — точки ниже прямой \(y = 3\). График \(y = |x|\) пересекает прямую \(y = 3\) в точках \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\). Оба неравенства строгие, поэтому множество — треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 3)\) без сторон.
6) \(-2 < y < -|x|\) — это система \(y > -2\) и \(y < -|x|\). График \(y = -|x|\) — уголок с вершиной в начале координат, ветви которого направлены вниз; он пересекает прямую \(y = -2\) в точках \((-2;\ -2)\) и \((2;\ -2)\). Множество — треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-2;\ -2)\), \((2;\ -2)\) без сторон.
7) Система задаёт общую часть трёх полуплоскостей: не ниже прямой \(y = 2x\), не ниже прямой \(y = 3 - x\), не выше прямой \(y = 3\). Прямые \(y = 2x\) и \(y = 3 - x\) пересекаются при \(2x = 3 - x\), то есть при \(x = 1\), \(y = 2\); прямая \(y = 2x\) пересекает прямую \(y = 3\) при \(x = 1{,}5\); прямая \(y = 3 - x\) пересекает прямую \(y = 3\) при \(x = 0\). Все три неравенства нестрогие, поэтому множество — треугольник с вершинами \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 3)\), \((0;\ 3)\) вместе со сторонами.
8) Система задаёт общую часть трёх полуплоскостей: не выше прямой \(y = \frac{x}{2} + 4\), не ниже прямой \(y = 2\), левее прямой \(x = 3\) или на ней. Прямая \(y = \frac{x}{2} + 4\) пересекает прямую \(y = 2\) при \(\frac{x}{2} = -2\), то есть при \(x = -4\); при \(x = 3\) она даёт \(y = 1{,}5 + 4 = 5{,}5\). Множество — треугольник с вершинами \((-4;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 5{,}5)\) вместе со сторонами.
Ответ: 1) пара вертикальных углов, образованных прямыми \(y = x\) и \(y = -2x\) и содержащих ось \(y\), вместе с обеими прямыми; 2) пара вертикальных углов, образованных прямыми \(y = 2x\) и \(y = -x\) и содержащих ось \(x\), вместе с обеими прямыми; 3) пара вертикальных углов с вершиной \(\left(-\frac{5}{3};\ -5\right)\), содержащих точки \((0;\ -1)\) и \((-5;\ -6)\), вместе с прямой \(y = 3x\) и без прямой \(y = -5\); 4) пара вертикальных углов с вершиной \((-2;\ 4)\), содержащих точки \((0;\ 5)\) и \((0;\ -1)\), вместе с прямой \(y = 4\) и без прямой \(y = -2x\); 5) треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-3;\ 3)\), \((3;\ 3)\) без сторон; 6) треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((-2;\ -2)\), \((2;\ -2)\) без сторон; 7) треугольник с вершинами \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 3)\), \((0;\ 3)\) вместе со сторонами; 8) треугольник с вершинами \((-4;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 5{,}5)\) вместе со сторонами.
