Страница 99 номер 4.2.54, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: 1) \(\begin{cases}y \ge 3x - 1,\\ y \ge 2x + 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}y \le -2x + 1,\\ y \le -3x + 2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y < -4x - 3,\\ y < -x + 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y > \frac{x}{2} - 1,\\[4pt] y > -2x - 6;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}y \ge -\frac{x}{2} + 1,\\[4pt] y < 3x - 6;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}y \le -2x - 6,\\[4pt] y > \frac{x}{3} + 1.\end{cases}\)
Граничную прямую проводим сплошной линией при нестрогом неравенстве и штриховой при строгом; множество решений системы — общая часть двух полуплоскостей.
1) Прямые \(y = 3x - 1\) и \(y = 2x + 3\) пересекаются при \(3x - 1 = 2x + 3\), то есть при \(x = 4\), \(y = 11\). Оба неравенства нестрогие, обе прямые сплошные. Множество решений — угол с вершиной \((4;\ 11)\), раскрытый вверх, вместе со сторонами.
2) Из \(-2x + 1 = -3x + 2\) получаем \(x = 1\), \(y = -1\). Оба неравенства нестрогие. Множество решений — угол с вершиной \((1;\ -1)\), раскрытый вниз, вместе со сторонами.
3) Из \(-4x - 3 = -x + 3\) получаем \(-3x = 6\), то есть \(x = -2\), \(y = 5\). Оба неравенства строгие, обе прямые штриховые. Множество решений — угол с вершиной \((-2;\ 5)\), раскрытый вниз, без сторон.
4) Из \(\frac{x}{2} - 1 = -2x - 6\) получаем \(\frac{5x}{2} = -5\), то есть \(x = -2\), \(y = -2\). Оба неравенства строгие. Множество решений — угол с вершиной \((-2;\ -2)\), раскрытый вверх, без сторон.
5) Из \(-\frac{x}{2} + 1 = 3x - 6\) получаем \(3{,}5x = 7\), то есть \(x = 2\), \(y = 0\). Первое неравенство нестрогое (прямая \(y = -\frac{x}{2} + 1\) сплошная), второе строгое (прямая \(y = 3x - 6\) штриховая). Множество решений — угол с вершиной \((2;\ 0)\), раскрытый вправо; из границ в него входит только часть прямой \(y = -\frac{x}{2} + 1\) правее вершины, а сама вершина не входит.
6) Из \(-2x - 6 = \frac{x}{3} + 1\) получаем \(-6x - 18 = x + 3\), то есть \(-7x = 21\), \(x = -3\), \(y = 0\). Первое неравенство нестрогое, второе строгое. Множество решений — угол с вершиной \((-3;\ 0)\), раскрытый влево; из границ в него входит только часть прямой \(y = -2x - 6\) левее вершины, а сама вершина не входит.
Ответ: 1) угол с вершиной \((4;\ 11)\), раскрытый вверх, вместе со сторонами; 2) угол с вершиной \((1;\ -1)\), раскрытый вниз, вместе со сторонами; 3) угол с вершиной \((-2;\ 5)\), раскрытый вниз, без сторон; 4) угол с вершиной \((-2;\ -2)\), раскрытый вверх, без сторон; 5) угол с вершиной \((2;\ 0)\), раскрытый вправо, вместе с частью прямой \(y = -\frac{x}{2} + 1\) правее вершины и без остальных граничных точек; 6) угол с вершиной \((-3;\ 0)\), раскрытый влево, вместе с частью прямой \(y = -2x - 6\) левее вершины и без остальных граничных точек.
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: 1) \(\begin{cases}y \ge 3x - 1,\\ y \ge 2x + 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}y \le -2x + 1,\\ y \le -3x + 2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y < -4x - 3,\\ y < -x + 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y > \frac{x}{2} - 1,\\[4pt] y > -2x - 6;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}y \ge -\frac{x}{2} + 1,\\[4pt] y < 3x - 6;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}y \le -2x - 6,\\[4pt] y > \frac{x}{3} + 1.\end{cases}\)
Неравенство вида \(y \geqslant kx + b\) задаёт полуплоскость, лежащую выше прямой \(y = kx + b\), а неравенство \(y \leqslant kx + b\) — полуплоскость ниже неё. Граничную прямую проводим сплошной линией, если неравенство нестрогое (прямая входит в множество), и штриховой, если строгое. Множество решений системы — общая часть двух полуплоскостей; на чертеже она покрыта двойной штриховкой.
1) Прямые \(y = 3x - 1\) и \(y = 2x + 3\) пересекаются там, где \(3x - 1 = 2x + 3\), то есть при \(x = 4\); тогда \(y = 11\). Оба неравенства нестрогие, обе прямые сплошные. Множество решений — угол с вершиной \((4;\ 11)\), раскрытый вверх, вместе со своими сторонами.
2) Из \(-2x + 1 = -3x + 2\) получаем \(x = 1\), \(y = -1\). Оба неравенства нестрогие. Множество решений — угол с вершиной \((1;\ -1)\), раскрытый вниз, вместе со сторонами.
3) Из \(-4x - 3 = -x + 3\) получаем \(-3x = 6\), то есть \(x = -2\), \(y = 5\). Оба неравенства строгие, обе прямые штриховые. Множество решений — угол с вершиной \((-2;\ 5)\), раскрытый вниз, без сторон.
4) Из \(\frac{x}{2} - 1 = -2x - 6\) получаем \(\frac{5x}{2} = -5\), то есть \(x = -2\), \(y = -2\). Оба неравенства строгие. Множество решений — угол с вершиной \((-2;\ -2)\), раскрытый вверх, без сторон.
5) Из \(-\frac{x}{2} + 1 = 3x - 6\) получаем \(3{,}5x = 7\), то есть \(x = 2\), \(y = 0\). Первое неравенство нестрогое (прямая \(y = -\frac{x}{2} + 1\) сплошная), второе строгое (прямая \(y = 3x - 6\) штриховая). Множество решений — угол с вершиной \((2;\ 0)\), раскрытый вправо; из границ в него входит только часть прямой \(y = -\frac{x}{2} + 1\), лежащая правее вершины, а сама вершина не входит.
6) Из \(-2x - 6 = \frac{x}{3} + 1\) получаем \(-6x - 18 = x + 3\), то есть \(-7x = 21\), \(x = -3\), \(y = 0\). Первое неравенство нестрогое, второе строгое. Множество решений — угол с вершиной \((-3;\ 0)\), раскрытый влево; из границ в него входит только часть прямой \(y = -2x - 6\), лежащая левее вершины, а сама вершина не входит.
Ответ: 1) угол с вершиной \((4;\ 11)\), раскрытый вверх, вместе со сторонами; 2) угол с вершиной \((1;\ -1)\), раскрытый вниз, вместе со сторонами; 3) угол с вершиной \((-2;\ 5)\), раскрытый вниз, без сторон; 4) угол с вершиной \((-2;\ -2)\), раскрытый вверх, без сторон; 5) угол с вершиной \((2;\ 0)\), раскрытый вправо, вместе с частью прямой \(y = -\frac{x}{2} + 1\) правее вершины и без остальных граничных точек; 6) угол с вершиной \((-3;\ 0)\), раскрытый влево, вместе с частью прямой \(y = -2x - 6\) левее вершины и без остальных граничных точек.
