Страница 99 номер 4.2.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В каждой системе решаем каждое неравенство отдельно, а потом берём общую часть полученных множеств. Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом изображается параболой с ветвями вверх: между корнями она лежит ниже оси \(x\), а вне корней — выше.

1)

\[\begin{cases} x^2 - 7x + 6 \leqslant 0, \\ x^2 - 7x + 10 < 0. \end{cases}\]

Уравнение \(x^2 - 7x + 6 = 0\): \(D = 49 - 24 = 25\), корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = 6\). Первое неравенство нестрогое, поэтому оно задаёт отрезок \([1;\ 6]\).

Уравнение \(x^2 - 7x + 10 = 0\): \(D = 49 - 40 = 9\), корни 2 и 5. Второе неравенство строгое, оно задаёт интервал \((2;\ 5)\).

Общая часть промежутков \([1;\ 6]\) и \((2;\ 5)\) — интервал \((2;\ 5)\).

2)

\[\begin{cases} x^2 - 2x - 3 < 0, \\ x^2 + x - 2 \leqslant 0. \end{cases}\]

Уравнение \(x^2 - 2x - 3 = 0\): \(D = 4 + 12 = 16\), корни \(-1\) и 3; первое неравенство задаёт интервал \((-1;\ 3)\).

Уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\): \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(-2\) и 1; второе неравенство задаёт отрезок \([-2;\ 1]\).

Общая часть — полуинтервал \((-1;\ 1]\).

3)

\[\begin{cases} x^2 - x - 6 \geqslant 0, \\ x^2 - x - 2 > 0. \end{cases}\]

Уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\): \(D = 1 + 24 = 25\), корни \(-2\) и 3. Значения трёхчлена неотрицательны вне корней, поэтому первое неравенство задаёт \((-\infty;\ -2] \cup [3;\ +\infty)\).

Уравнение \(x^2 - x - 2 = 0\): \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(-1\) и 2; второе неравенство задаёт \((-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)\).

Промежуток \((-\infty;\ -2]\) целиком лежит в \((-\infty;\ -1)\), а \([3;\ +\infty)\) — в \((2;\ +\infty)\), поэтому общая часть равна \((-\infty;\ -2] \cup [3;\ +\infty)\).

4)

\[\begin{cases} x^2 - 2x - 15 > 0, \\ x^2 - x - 6 \geqslant 0. \end{cases}\]

Уравнение \(x^2 - 2x - 15 = 0\): \(D = 4 + 60 = 64\), корни \(-3\) и 5; первое неравенство задаёт \((-\infty;\ -3) \cup (5;\ +\infty)\).

Второе неравенство разобрано в пункте 3): оно задаёт \((-\infty;\ -2] \cup [3;\ +\infty)\).

Промежуток \((-\infty;\ -3)\) лежит в \((-\infty;\ -2]\), а \((5;\ +\infty)\) — в \([3;\ +\infty)\), поэтому общая часть равна \((-\infty;\ -3) \cup (5;\ +\infty)\).

5)

\[\begin{cases} \dfrac{10}{x^2 - 16} < 0, \\[6pt] 3x + 2 \geqslant 0. \end{cases}\]

Числитель дроби положителен, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен знаменатель: \(x^2 - 16 < 0\), то есть \((x - 4)(x + 4) < 0\), откуда \(-4 < x < 4\).

Из второго неравенства \(3x \geqslant -2\), то есть \(x \geqslant -\frac{2}{3}\).

Общая часть — полуинтервал \(\left[-\frac{2}{3};\ 4\right)\).

6)

\[\begin{cases} \dfrac{15}{9x^2 - 25} > 0, \\[6pt] 2x - 1 < 0. \end{cases}\]

Числитель положителен, поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда положителен знаменатель: \(9x^2 - 25 > 0\), то есть \((3x - 5)(3x + 5) > 0\). Нули множителей — \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\), и произведение положительно вне них: \(x < -\frac{5}{3}\) или \(x > \frac{5}{3}\).

Из второго неравенства \(x < \frac{1}{2}\).

Общая часть — открытый числовой луч \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\).

7)

\[\begin{cases} \dfrac{2x^2 + 5}{x^2 + 2x - 15} > 0, \\[6pt] 7 - 2x \geqslant 0. \end{cases}\]

Числитель \(2x^2 + 5\) положителен при всех \(x\), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда положителен знаменатель: \(x^2 + 2x - 15 > 0\). Уравнение \(x^2 + 2x - 15 = 0\): \(D = 4 + 60 = 64\), корни \(-5\) и 3, значит, \(x < -5\) или \(x > 3\).

Из второго неравенства \(-2x \geqslant -7\), то есть \(x \leqslant 3{,}5\).

Общая часть — \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ 3{,}5]\).

8)

\[\begin{cases} \dfrac{-1 - x^2}{x^2 + 4x - 21} < 0, \\[6pt] 6x - 5 \leqslant 0. \end{cases}\]

Числитель \(-1 - x^2\) отрицателен при всех \(x\), поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель положителен: \(x^2 + 4x - 21 > 0\). Уравнение \(x^2 + 4x - 21 = 0\): \(D = 16 + 84 = 100\), корни \(-7\) и 3, значит, \(x < -7\) или \(x > 3\).

Из второго неравенства \(x \leqslant \frac{5}{6}\).

Общая часть — открытый числовой луч \((-\infty;\ -7)\).

9)

\[\begin{cases} \dfrac{1}{x - 8} \leqslant \dfrac{1}{x + 7}, \\[6pt] \dfrac{1}{x + 6} > \dfrac{1}{x - 5}. \end{cases}\]

В первом неравенстве перенесём всё в левую часть и приведём к одной дроби:

\[\frac{1}{x - 8} - \frac{1}{x + 7} \leqslant 0,\] \[\frac{(x + 7) - (x - 8)}{(x - 8)(x + 7)} \leqslant 0,\] \[\frac{15}{(x - 8)(x + 7)} \leqslant 0.\]

Числитель положителен, поэтому нулём дробь не бывает и неравенство равносильно \((x - 8)(x + 7) < 0\). Методом интервалов получаем \(-7 < x < 8\).

Так же поступим со вторым неравенством:

\[\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x - 5} > 0,\] \[\frac{(x - 5) - (x + 6)}{(x + 6)(x - 5)} > 0,\] \[\frac{-11}{(x + 6)(x - 5)} > 0.\]

Числитель отрицателен, поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: \((x + 6)(x - 5) < 0\), откуда \(-6 < x < 5\).

Общая часть интервалов \((-7;\ 8)\) и \((-6;\ 5)\) — интервал \((-6;\ 5)\).

10)

\[\begin{cases} \dfrac{1}{x + 10} > \dfrac{1}{x - 3}, \\[6pt] \dfrac{1}{x - 5} \leqslant \dfrac{1}{x + 4}. \end{cases}\]

Первое неравенство:

\[\frac{(x - 3) - (x + 10)}{(x + 10)(x - 3)} > 0,\] \[\frac{-13}{(x + 10)(x - 3)} > 0.\]

Числитель отрицателен, поэтому \((x + 10)(x - 3) < 0\), откуда \(-10 < x < 3\).

Второе неравенство:

\[\frac{(x + 4) - (x - 5)}{(x - 5)(x + 4)} \leqslant 0,\] \[\frac{9}{(x - 5)(x + 4)} \leqslant 0.\]

Числитель положителен, дробь нулём не бывает, поэтому \((x - 5)(x + 4) < 0\), откуда \(-4 < x < 5\).

Общая часть интервалов \((-10;\ 3)\) и \((-4;\ 5)\) — интервал \((-4;\ 3)\).

Ответ: 1) \((2;\ 5)\); 2) \((-1;\ 1]\); 3) \((-\infty;\ -2] \cup [3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -3) \cup (5;\ +\infty)\); 5) \(\left[-\frac{2}{3};\ 4\right)\); 6) \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right)\); 7) \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ 3{,}5]\); 8) \((-\infty;\ -7)\); 9) \((-6;\ 5)\); 10) \((-4;\ 3)\).