Страница 99 номер 4.2.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему: 1) \(\begin{cases}x^2 + 4x - 12 = 0,\\ x^2 - 4x + 3 > 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2 + 2x - 3 < 0,\\ x^2 - x - 2 = 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}(x - 5)(x + 4)(x + 7) > 0,\\ (x - 7)(x + 3) = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}(x + 8)(x - 5) = 0,\\ (x - 1)(x + 1)(x + 6) < 0.\end{cases}\)
Решение системы должно удовлетворять и уравнению, и неравенству: находим корни уравнения и оставляем те, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство.
1) \(x^2 + 4x - 12 = 0\):
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64,\] \[x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2.\]
При \(x = -6\): \(36 + 24 + 3 = 63\), и \(63 > 0\) верно.
При \(x = 2\): \(4 - 8 + 3 = -1\), и \(-1 > 0\) неверно, поэтому число 2 решением системы не является.
2) \(x^2 - x - 2 = 0\):
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,\] \[x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.\]
При \(x = -1\): \(1 - 2 - 3 = -4\), и \(-4 < 0\) верно.
При \(x = 2\): \(4 + 4 - 3 = 5\), и \(5 < 0\) неверно.
3) Произведение \((x - 7)(x + 3)\) равно нулю при \(x = 7\) и при \(x = -3\).
При \(x = 7\): \(2 \cdot 11 \cdot 14 = 308\), и \(308 > 0\) верно.
При \(x = -3\): \((-8) \cdot 1 \cdot 4 = -32\), и \(-32 > 0\) неверно.
4) Произведение \((x + 8)(x - 5)\) равно нулю при \(x = -8\) и при \(x = 5\).
При \(x = -8\): \((-9) \cdot (-7) \cdot (-2) = -126\), и \(-126 < 0\) верно.
При \(x = 5\): \(4 \cdot 6 \cdot 11 = 264\), и \(264 < 0\) неверно.
Ответ: 1) \(x = -6\); 2) \(x = -1\); 3) \(x = 7\); 4) \(x = -8\).
Решить систему: 1) \(\begin{cases}x^2 + 4x - 12 = 0,\\ x^2 - 4x + 3 > 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2 + 2x - 3 < 0,\\ x^2 - x - 2 = 0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}(x - 5)(x + 4)(x + 7) > 0,\\ (x - 7)(x + 3) = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}(x + 8)(x - 5) = 0,\\ (x - 1)(x + 1)(x + 6) < 0.\end{cases}\)
Решение такой системы должно удовлетворять и уравнению, и неравенству. Поэтому находим корни уравнения и оставляем те из них, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство.
1) Решим уравнение \(x^2 + 4x - 12 = 0\): \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64,\] \[x_1 = \frac{-4 - 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2.\]
Подставим найденные числа в неравенство \(x^2 - 4x + 3 > 0\). При \(x = -6\) получаем \(36 + 24 + 3 = 63\), и неравенство \(63 > 0\) верно. При \(x = 2\) получаем \(4 - 8 + 3 = -1\), и неравенство \(-1 > 0\) неверно, поэтому число 2 решением системы не является.
2) Решим уравнение \(x^2 - x - 2 = 0\): \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,\] \[x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.\]
Подставим найденные числа в неравенство \(x^2 + 2x - 3 < 0\). При \(x = -1\) получаем \(1 - 2 - 3 = -4\), и неравенство \(-4 < 0\) верно. При \(x = 2\) получаем \(4 + 4 - 3 = 5\), и неравенство \(5 < 0\) неверно.
3) Произведение \((x - 7)(x + 3)\) равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то есть при \(x = 7\) и при \(x = -3\).
Подставим эти числа в неравенство \((x - 5)(x + 4)(x + 7) > 0\). При \(x = 7\) получаем \(2 \cdot 11 \cdot 14 = 308\), и неравенство \(308 > 0\) верно. При \(x = -3\) получаем \((-8) \cdot 1 \cdot 4 = -32\), и неравенство \(-32 > 0\) неверно.
4) Произведение \((x + 8)(x - 5)\) равно нулю при \(x = -8\) и при \(x = 5\).
Подставим эти числа в неравенство \((x - 1)(x + 1)(x + 6) < 0\). При \(x = -8\) получаем \((-9) \cdot (-7) \cdot (-2) = -126\), и неравенство \(-126 < 0\) верно. При \(x = 5\) получаем \(4 \cdot 6 \cdot 11 = 264\), и неравенство \(264 < 0\) неверно.
Ответ: 1) \(x = -6\); 2) \(x = -1\); 3) \(x = 7\); 4) \(x = -8\).
