Страница 99 номер 4.2.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти область определения функции: 1) \(\sqrt{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 7x + 12)x}\); 2) \(\sqrt{\frac{-21}{(x^2 - 6x - 16)(x^2 + 2x - 35)}}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби отличен от нуля.
1) Корни уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — 2 и 3, корни уравнения \(x^2 - 7x + 12 = 0\) — 3 и 4, поэтому
\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), \quad x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4),\] \[\left(x^2 - 5x + 6\right)\left(x^2 - 7x + 12\right)x = x(x - 2)(x - 3)^2(x - 4).\]
Нули произведения — 0, 2, 3 и 4, причём через 3 знак не меняется: множитель \((x - 3)^2\) входит в квадрате. Справа от 4 произведение положительно, на \((3;\ 4)\) отрицательно, на \((2;\ 3)\) тоже отрицательно, на \((0;\ 2)\) положительно, на \((-\infty;\ 0)\) отрицательно. При \(x = 3\) произведение равно нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 3 входит в область определения отдельной точкой.
2) Числитель дроби равен \(-21\), поэтому нулю она не равна и должна быть положительной, а дробь с отрицательным числителем положительна при отрицательном знаменателе:
\[\left(x^2 - 6x - 16\right)\left(x^2 + 2x - 35\right) < 0.\]
Корни уравнения \(x^2 - 6x - 16 = 0\): \(D = 36 + 64 = 100\), \(x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8\).
Корни уравнения \(x^2 + 2x - 35 = 0\): \(D = 4 + 140 = 144\), \(x_1 = \frac{-2 - 12}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5\). Значит, неравенство принимает вид
\[(x - 8)(x + 2)(x - 5)(x + 7) < 0.\]
Нули произведения — \(-7\), \(-2\), 5 и 8. Справа от 8 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((5;\ 8)\) отрицательно, на \((-2;\ 5)\) положительно, на \((-7;\ -2)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -7)\) положительно.
Ответ: 1) \([0;\ 2] \cup [4;\ +\infty)\) и отдельное число \(x = 3\); 2) \((-7;\ -2) \cup (5;\ 8)\).
Найти область определения функции: 1) \(\sqrt{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 7x + 12)x}\); 2) \(\sqrt{\frac{-21}{(x^2 - 6x - 16)(x^2 + 2x - 35)}}\).
Область определения такой функции составляют те значения \(x\), при которых выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, а знаменатель дроби отличен от нуля.
1) Требуется \(\left(x^2 - 5x + 6\right)\left(x^2 - 7x + 12\right)x \geqslant 0\). Разложим трёхчлены на множители: корни уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — это 2 и 3, корни уравнения \(x^2 - 7x + 12 = 0\) — это 3 и 4, поэтому \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), \quad x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4),\] \[\left(x^2 - 5x + 6\right)\left(x^2 - 7x + 12\right)x = x(x - 2)(x - 3)^2(x - 4).\]
Нули произведения — числа 0, 2, 3 и 4, причём через 3 знак не меняется: множитель \((x - 3)^2\) входит в квадрате. Справа от 4 произведение положительно, на \((3;\ 4)\) отрицательно, на \((2;\ 3)\) тоже отрицательно, на \((0;\ 2)\) положительно, на \((-\infty;\ 0)\) отрицательно. Кроме того, при \(x = 3\) произведение равно нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 3 входит в область определения отдельной точкой.
2) Требуется \(\frac{-21}{\left(x^2 - 6x - 16\right)\left(x^2 + 2x - 35\right)} \geqslant 0\) при отличном от нуля знаменателе. Числитель равен \(-21\), поэтому дробь нулю не равна ни при каком \(x\) и должна быть положительной, а дробь с отрицательным числителем положительна при отрицательном знаменателе: \[\left(x^2 - 6x - 16\right)\left(x^2 + 2x - 35\right) < 0.\]
Корни уравнения \(x^2 - 6x - 16 = 0\): \(D = 36 + 64 = 100\), откуда \(x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8\). Корни уравнения \(x^2 + 2x - 35 = 0\): \(D = 4 + 140 = 144\), откуда \(x_1 = \frac{-2 - 12}{2} = -7\) и \(x_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5\). Значит, неравенство принимает вид \[(x - 8)(x + 2)(x - 5)(x + 7) < 0.\]
Нули произведения — числа \(-7\), \(-2\), 5 и 8. Справа от 8 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((5;\ 8)\) отрицательно, на \((-2;\ 5)\) положительно, на \((-7;\ -2)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -7)\) положительно.
Ответ: 1) \([0;\ 2] \cup [4;\ +\infty)\) и отдельное число \(x = 3\); 2) \((-7;\ -2) \cup (5;\ 8)\).
