Страница 98 номер 4.2.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: 1) \((x - 3)(x + 2)(x - 5) > 0\); 2) \((x - 10)(x - 3)(x + 1) < 0\); 3) \(x(x + 0{,}5)(x - 2)(x + 3) \le 0\); 4) \(x(x - 4)(x + 4)(x - 2) \ge 0\); 5) \((x - 7)(x + 2)^2(x + 4) > 0\); 6) \((x + 3)(x - 6)^2(x - 8) < 0\); 7) \((x + 5)^2(x + 10)(x - 2) \le 0\); 8) \((x - 1)^2(x - 5)(x + 3) \ge 0\); 9) \(\frac{(x - 2{,}5)(x + 3{,}5)}{(x + 1)(x - 5)} \ge 0\); 10) \(\frac{(x - 4)(x + 7)}{(x + 5{,}5)(x - 3{,}5)} \le 0\); 11) \(\frac{(x - 10)^2(x + 7)}{(x - 12)(x + 3)} < 0\); 12) \(\frac{(x + 4)(x + 6)^2}{(x + 8)(x - 6)} > 0\); 13) \(\frac{(x^2 - 1)(8 - x)}{(x + 7{,}5)(x - 4{,}5)} \ge 0\); 14) \(\frac{(x + 6{,}2)(x - 3{,}8)}{(x^2 - 9)(2 - x)} \ge 0\); 15) \(\frac{(x - 6)^2(x + 2)^2}{\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)} \ge 0\); 16) \(\frac{(x - 4)^2(x + 6)}{(x - 0{,}8)^3(x - 0{,}3)} \le 0\); 17) \(\frac{x^4 - 24x^2 + 100}{x^4 - 17x + 16} < 0\); 18) \(\frac{4x^4 - 37x^2 + 9}{9x^4 - 37x^2 + 4} > 0\).
При переходе через нуль обычного множителя знак меняется; множитель в квадрате знака не меняет, а множитель в кубе меняет его так же, как обычный множитель. Знак дроби совпадает со знаком произведения её числителя и знаменателя, а нули знаменателя из ответа исключаются.
1) Нули левой части — \(-2\), 3 и 5. На \((5;\ +\infty)\) все три множителя положительны, произведение положительно; далее знаки чередуются: на \((3;\ 5)\) отрицательно, на \((-2;\ 3)\) положительно, на \((-\infty;\ -2)\) отрицательно.
2) Нули — \(-1\), 3 и 10. Справа от 10 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((3;\ 10)\) отрицательно, на \((-1;\ 3)\) положительно, на \((-\infty;\ -1)\) отрицательно.
3) Нули — \(-3\), \(-0{,}5\), 0 и 2. Справа от 2 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((0;\ 2)\) отрицательно, на \((-0{,}5;\ 0)\) положительно, на \((-3;\ -0{,}5)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. Неравенство нестрогое, поэтому нули включаем в ответ.
4) Нули — \(-4\), 0, 2 и 4. Справа от 4 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((2;\ 4)\) отрицательно, на \((0;\ 2)\) положительно, на \((-4;\ 0)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -4)\) положительно. Нули включаем в ответ.
5) Нули — \(-4\), \(-2\) и 7, причём через \(-2\) знак не меняется: множитель \((x + 2)^2\) входит в квадрате. Справа от 7 произведение положительно, на \((-2;\ 7)\) отрицательно, на \((-4;\ -2)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -4)\) положительно. Число \(-2\) обращает произведение в нуль и строгому неравенству не удовлетворяет.
6) Нули — \(-3\), 6 и 8, причём через 6 знак не меняется. Справа от 8 произведение положительно, на \((6;\ 8)\) отрицательно, на \((-3;\ 6)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. Число 6 обращает произведение в нуль и в ответ не входит.
7) Нули — \(-10\), \(-5\) и 2, причём через \(-5\) знак не меняется. Справа от 2 произведение положительно, на \((-5;\ 2)\) отрицательно, на \((-10;\ -5)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -10)\) положительно. Неравенство нестрогое, нули включаем, и два соседних промежутка вместе с точкой \(-5\) дают отрезок \([-10;\ 2]\).
8) Нули — \(-3\), 1 и 5, причём через 1 знак не меняется. Справа от 5 произведение положительно, на \((1;\ 5)\) отрицательно, на \((-3;\ 1)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. При \(x = 1\) произведение равно нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 1 входит в ответ отдельной точкой.
9) Дробь имеет смысл при \(x \ne -1\) и \(x \ne 5\). Нули числителя и знаменателя по возрастанию: \(-3{,}5\), \(-1\), \(2{,}5\), 5. Справа от 5 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((2{,}5;\ 5)\) отрицательна, на \((-1;\ 2{,}5)\) положительна, на \((-3{,}5;\ -1)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -3{,}5)\) положительна. Нули числителя \(-3{,}5\) и \(2{,}5\) включаем, нули знаменателя исключаем.
10) Дробь имеет смысл при \(x \ne -5{,}5\) и \(x \ne 3{,}5\). Нули по возрастанию: \(-7\), \(-5{,}5\), \(3{,}5\), 4. Справа от 4 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((3{,}5;\ 4)\) отрицательна, на \((-5{,}5;\ 3{,}5)\) положительна, на \((-7;\ -5{,}5)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -7)\) положительна. Нули числителя \(-7\) и 4 включаем, нули знаменателя исключаем.
11) Дробь имеет смысл при \(x \ne -3\) и \(x \ne 12\). Нули по возрастанию: \(-7\), \(-3\), 10, 12, причём через 10 знак не меняется — множитель \((x - 10)^2\) входит в квадрате. Справа от 12 дробь положительна, на \((10;\ 12)\) отрицательна, на \((-3;\ 10)\) тоже отрицательна, на \((-7;\ -3)\) положительна, на \((-\infty;\ -7)\) отрицательна. При \(x = 10\) дробь равна нулю, а неравенство строгое, поэтому число 10 исключаем.
12) Дробь имеет смысл при \(x \ne -8\) и \(x \ne 6\). Нули по возрастанию: \(-8\), \(-6\), \(-4\), 6, причём через \(-6\) знак не меняется. Справа от 6 дробь положительна, на \((-4;\ 6)\) отрицательна, на \((-6;\ -4)\) положительна, на \((-8;\ -6)\) тоже положительна, на \((-\infty;\ -8)\) отрицательна. При \(x = -6\) дробь равна нулю и строгому неравенству не удовлетворяет.
13) \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), \(8 - x = -(x - 8)\); разделим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства:
\[\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 8)}{(x + 7{,}5)(x - 4{,}5)} \leqslant 0.\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne -7{,}5\) и \(x \ne 4{,}5\). Нули по возрастанию: \(-7{,}5\), \(-1\), 1, \(4{,}5\), 8. Справа от 8 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((4{,}5;\ 8)\) отрицательна, на \((1;\ 4{,}5)\) положительна, на \((-1;\ 1)\) отрицательна, на \((-7{,}5;\ -1)\) положительна, на \((-\infty;\ -7{,}5)\) отрицательна. Нули числителя \(-1\), 1 и 8 включаем, нули знаменателя исключаем.
14) \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), \(2 - x = -(x - 2)\); разделим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства:
\[\frac{(x + 6{,}2)(x - 3{,}8)}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)} \leqslant 0.\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne -3\), \(x \ne 2\) и \(x \ne 3\). Нули по возрастанию: \(-6{,}2\), \(-3\), 2, 3, \(3{,}8\). Справа от \(3{,}8\) дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((3;\ 3{,}8)\) отрицательна, на \((2;\ 3)\) положительна, на \((-3;\ 2)\) отрицательна, на \((-6{,}2;\ -3)\) положительна, на \((-\infty;\ -6{,}2)\) отрицательна. Нули числителя \(-6{,}2\) и \(3{,}8\) включаем, нули знаменателя исключаем.
15) Дробь имеет смысл при \(x \ne -\frac{1}{3}\) и \(x \ne \frac{1}{2}\). Числитель — произведение двух квадратов; он обращается в нуль при \(x = -2\) и \(x = 6\), и через оба этих нуля знак дроби не меняется. Нули по возрастанию: \(-2\), \(-\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\), 6. Справа от 6 дробь положительна, на \(\left(\frac{1}{2};\ 6\right)\) тоже положительна, на \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) отрицательна, на \(\left(-2;\ -\frac{1}{3}\right)\) положительна, на \((-\infty;\ -2)\) тоже положительна. Нули числителя \(-2\) и 6 нестрогому неравенству удовлетворяют и лежат внутри найденных промежутков.
16) Дробь имеет смысл при \(x \ne 0{,}3\) и \(x \ne 0{,}8\). Множитель \((x - 4)^2\) знака не меняет, а множитель \((x - 0{,}8)^3\) меняет знак так же, как \(x - 0{,}8\). Нули по возрастанию: \(-6\), \(0{,}3\), \(0{,}8\), 4. Справа от 4 дробь положительна, на \((0{,}8;\ 4)\) тоже положительна, на \((0{,}3;\ 0{,}8)\) отрицательна, на \((-6;\ 0{,}3)\) положительна, на \((-\infty;\ -6)\) отрицательна. При \(x = 4\) дробь равна нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 4 входит в ответ отдельной точкой.
17) В сборнике в знаменателе пропущен квадрат; решаем неравенство \(\frac{x^4 - 24x^2 + 100}{x^4 - 17x^2 + 16} < 0\).
Дополним числитель до квадрата разности:
\[\begin{aligned} &x^4 - 24x^2 + 100 = \left(x^2 - 10\right)^2 - 4x^2 = {} \\ &= \left(x^2 - 2x - 10\right)\left(x^2 + 2x - 10\right). \end{aligned}\]
Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 10\): \(D = 4 + 40 = 44\), откуда \(x = 1 \pm \sqrt{11}\).
Корни трёхчлена \(x^2 + 2x - 10\): \(D = 4 + 40 = 44\), откуда \(x = -1 \pm \sqrt{11}\).
\[x^4 - 17x^2 + 16 = \left(x^2 - 1\right)\left(x^2 - 16\right) = (x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4).\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne \pm 1\) и \(x \ne \pm 4\). Так как \(3{,}3^2 = 10{,}89\), а \(3{,}4^2 = 11{,}56\), то \(3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4\), и все восемь нулей расположены так:
\[-1 - \sqrt{11} < -4 < 1 - \sqrt{11} < -1 < 1 < -1 + \sqrt{11} < 4 < 1 + \sqrt{11}.\]
Все восемь нулей различны, поэтому знак дроби меняется при переходе через каждый из них. Справа от \(1 + \sqrt{11}\) дробь положительна, и, чередуя знаки, получаем, что дробь отрицательна на промежутках \(\left(4;\ 1 + \sqrt{11}\right)\), \(\left(1;\ -1 + \sqrt{11}\right)\), \(\left(1 - \sqrt{11};\ -1\right)\) и \(\left(-1 - \sqrt{11};\ -4\right)\).
18) Уравнение \(4x^4 - 37x^2 + 9 = 0\) решим как квадратное относительно \(x^2\): \(D = 37^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225\), откуда \(x^2 = \frac{37 \pm 35}{8}\), то есть \(x^2 = 9\) или \(x^2 = \frac{1}{4}\):
\[4x^4 - 37x^2 + 9 = 4(x - 3)(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right).\]
Уравнение \(9x^4 - 37x^2 + 4 = 0\) даёт \(D = 1369 - 144 = 1225\) и \(x^2 = \frac{37 \pm 35}{18}\), то есть \(x^2 = 4\) или \(x^2 = \frac{1}{9}\):
\[9x^4 - 37x^2 + 4 = 9(x - 2)(x + 2)\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right).\]
Множители 4 и 9 положительны и на знак дроби не влияют. Дробь имеет смысл при \(x \ne \pm 2\) и \(x \ne \pm\frac{1}{3}\). Нули по возрастанию: \(-3\), \(-2\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\), 2, 3; все они различны, поэтому знак дроби меняется при переходе через каждый из них. Справа от 3 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((2;\ 3)\) отрицательна, на \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\) положительна, на \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) отрицательна, на \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right)\) положительна, на \(\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{1}{3}\right)\) отрицательна, на \(\left(-2;\ -\frac{1}{2}\right)\) положительна, на \((-3;\ -2)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -3)\) положительна.
Ответ: 1) \((-2;\ 3) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -1) \cup (3;\ 10)\); 3) \([-3;\ -0{,}5] \cup [0;\ 2]\); 4) \((-\infty;\ -4] \cup [0;\ 2] \cup [4;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ -4) \cup (7;\ +\infty)\); 6) \((-3;\ 6) \cup (6;\ 8)\); 7) \([-10;\ 2]\); 8) \((-\infty;\ -3] \cup [5;\ +\infty)\) и отдельное число \(x = 1\); 9) \((-\infty;\ -3{,}5] \cup (-1;\ 2{,}5] \cup (5;\ +\infty)\); 10) \([-7;\ -5{,}5) \cup (3{,}5;\ 4]\); 11) \((-\infty;\ -7) \cup (-3;\ 10) \cup (10;\ 12)\); 12) \((-8;\ -6) \cup (-6;\ -4) \cup (6;\ +\infty)\); 13) \((-\infty;\ -7{,}5) \cup [-1;\ 1] \cup (4{,}5;\ 8]\); 14) \((-\infty;\ -6{,}2] \cup (-3;\ 2) \cup (3;\ 3{,}8]\); 15) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 16) \((-\infty;\ -6] \cup (0{,}3;\ 0{,}8)\) и отдельное число \(x = 4\); 17) \(\left(-1 - \sqrt{11};\ -4\right) \cup \left(1 - \sqrt{11};\ -1\right) \cup \left(1;\ -1 + \sqrt{11}\right) \cup \left(4;\ 1 + \sqrt{11}\right)\); 18) \((-\infty;\ -3) \cup \left(-2;\ -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (3;\ +\infty)\).
Решить неравенство: 1) \((x - 3)(x + 2)(x - 5) > 0\); 2) \((x - 10)(x - 3)(x + 1) < 0\); 3) \(x(x + 0{,}5)(x - 2)(x + 3) \le 0\); 4) \(x(x - 4)(x + 4)(x - 2) \ge 0\); 5) \((x - 7)(x + 2)^2(x + 4) > 0\); 6) \((x + 3)(x - 6)^2(x - 8) < 0\); 7) \((x + 5)^2(x + 10)(x - 2) \le 0\); 8) \((x - 1)^2(x - 5)(x + 3) \ge 0\); 9) \(\frac{(x - 2{,}5)(x + 3{,}5)}{(x + 1)(x - 5)} \ge 0\); 10) \(\frac{(x - 4)(x + 7)}{(x + 5{,}5)(x - 3{,}5)} \le 0\); 11) \(\frac{(x - 10)^2(x + 7)}{(x - 12)(x + 3)} < 0\); 12) \(\frac{(x + 4)(x + 6)^2}{(x + 8)(x - 6)} > 0\); 13) \(\frac{(x^2 - 1)(8 - x)}{(x + 7{,}5)(x - 4{,}5)} \ge 0\); 14) \(\frac{(x + 6{,}2)(x - 3{,}8)}{(x^2 - 9)(2 - x)} \ge 0\); 15) \(\frac{(x - 6)^2(x + 2)^2}{\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)} \ge 0\); 16) \(\frac{(x - 4)^2(x + 6)}{(x - 0{,}8)^3(x - 0{,}3)} \le 0\); 17) \(\frac{x^4 - 24x^2 + 100}{x^4 - 17x + 16} < 0\); 18) \(\frac{4x^4 - 37x^2 + 9}{9x^4 - 37x^2 + 4} > 0\).
Нули произведения разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых знак произведения сохраняется. При переходе через нуль обычного множителя знак меняется; множитель, входящий в квадрате, знака не меняет, потому что квадрат положителен по обе стороны от своего нуля; множитель же в кубе меняет знак так же, как обычный множитель. Знак дроби совпадает со знаком произведения её числителя и знаменателя при всех \(x\), при которых дробь имеет смысл, поэтому нули знаменателя из ответа всегда исключаются.
1) Нули левой части — числа \(-2\), 3 и 5. На промежутке \((5;\ +\infty)\) все три множителя положительны, значит, произведение положительно; далее знаки чередуются: на \((3;\ 5)\) произведение отрицательно, на \((-2;\ 3)\) положительно, на \((-\infty;\ -2)\) отрицательно.
2) Нули левой части — числа \(-1\), 3 и 10. Справа от 10 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((3;\ 10)\) отрицательно, на \((-1;\ 3)\) положительно, на \((-\infty;\ -1)\) отрицательно.
3) Нули левой части — числа \(-3\), \(-0{,}5\), 0 и 2. Справа от 2 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((0;\ 2)\) отрицательно, на \((-0{,}5;\ 0)\) положительно, на \((-3;\ -0{,}5)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. Неравенство нестрогое, поэтому нули включаем в ответ.
4) Нули левой части — числа \(-4\), 0, 2 и 4. Справа от 4 произведение положительно, далее знаки чередуются: на \((2;\ 4)\) отрицательно, на \((0;\ 2)\) положительно, на \((-4;\ 0)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -4)\) положительно. Нули включаем в ответ.
5) Нули левой части — числа \(-4\), \(-2\) и 7, причём через \(-2\) знак не меняется: множитель \((x + 2)^2\) входит в квадрате. Справа от 7 произведение положительно, на \((-2;\ 7)\) отрицательно, на \((-4;\ -2)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -4)\) положительно. Число \(-2\) обращает произведение в нуль и строгому неравенству не удовлетворяет.
6) Нули левой части — числа \(-3\), 6 и 8, причём через 6 знак не меняется. Справа от 8 произведение положительно, на \((6;\ 8)\) отрицательно, на \((-3;\ 6)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. Число 6 обращает произведение в нуль и в ответ не входит.
7) Нули левой части — числа \(-10\), \(-5\) и 2, причём через \(-5\) знак не меняется. Справа от 2 произведение положительно, на \((-5;\ 2)\) отрицательно, на \((-10;\ -5)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -10)\) положительно. Неравенство нестрогое, поэтому нули включаем, и два соседних промежутка вместе с точкой \(-5\) дают отрезок \([-10;\ 2]\).
8) Нули левой части — числа \(-3\), 1 и 5, причём через 1 знак не меняется. Справа от 5 произведение положительно, на \((1;\ 5)\) отрицательно, на \((-3;\ 1)\) тоже отрицательно, на \((-\infty;\ -3)\) положительно. Кроме того, при \(x = 1\) произведение равно нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 1 входит в ответ отдельной точкой.
9) Дробь имеет смысл при \(x \ne -1\) и \(x \ne 5\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-3{,}5\), \(-1\), \(2{,}5\), 5. Справа от 5 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((2{,}5;\ 5)\) отрицательна, на \((-1;\ 2{,}5)\) положительна, на \((-3{,}5;\ -1)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -3{,}5)\) положительна. Нули числителя \(-3{,}5\) и \(2{,}5\) включаем, нули знаменателя исключаем.
10) Дробь имеет смысл при \(x \ne -5{,}5\) и \(x \ne 3{,}5\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-7\), \(-5{,}5\), \(3{,}5\), 4. Справа от 4 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((3{,}5;\ 4)\) отрицательна, на \((-5{,}5;\ 3{,}5)\) положительна, на \((-7;\ -5{,}5)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -7)\) положительна. Нули числителя \(-7\) и 4 включаем, нули знаменателя исключаем.
11) Дробь имеет смысл при \(x \ne -3\) и \(x \ne 12\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-7\), \(-3\), 10, 12, причём через 10 знак не меняется — множитель \((x - 10)^2\) входит в квадрате. Справа от 12 дробь положительна, на \((10;\ 12)\) отрицательна, на \((-3;\ 10)\) тоже отрицательна, на \((-7;\ -3)\) положительна, на \((-\infty;\ -7)\) отрицательна. При \(x = 10\) дробь равна нулю, а неравенство строгое, поэтому число 10 из ответа исключаем.
12) Дробь имеет смысл при \(x \ne -8\) и \(x \ne 6\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-8\), \(-6\), \(-4\), 6, причём через \(-6\) знак не меняется. Справа от 6 дробь положительна, на \((-4;\ 6)\) отрицательна, на \((-6;\ -4)\) положительна, на \((-8;\ -6)\) тоже положительна, на \((-\infty;\ -8)\) отрицательна. При \(x = -6\) дробь равна нулю и строгому неравенству не удовлетворяет.
13) Разложим числитель: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) и \(8 - x = -(x - 8)\). Вынесем множитель \(-1\) и разделим на него обе части неравенства, изменив его знак: \[\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 8)}{(x + 7{,}5)(x - 4{,}5)} \leqslant 0.\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne -7{,}5\) и \(x \ne 4{,}5\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-7{,}5\), \(-1\), 1, \(4{,}5\), 8. Справа от 8 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((4{,}5;\ 8)\) отрицательна, на \((1;\ 4{,}5)\) положительна, на \((-1;\ 1)\) отрицательна, на \((-7{,}5;\ -1)\) положительна, на \((-\infty;\ -7{,}5)\) отрицательна. Нули числителя \(-1\), 1 и 8 включаем, нули знаменателя исключаем.
14) Разложим знаменатель: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) и \(2 - x = -(x - 2)\). Вынесем множитель \(-1\) и разделим на него обе части неравенства, изменив его знак: \[\frac{(x + 6{,}2)(x - 3{,}8)}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)} \leqslant 0.\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne -3\), \(x \ne 2\) и \(x \ne 3\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-6{,}2\), \(-3\), 2, 3, \(3{,}8\). Справа от \(3{,}8\) дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((3;\ 3{,}8)\) отрицательна, на \((2;\ 3)\) положительна, на \((-3;\ 2)\) отрицательна, на \((-6{,}2;\ -3)\) положительна, на \((-\infty;\ -6{,}2)\) отрицательна. Нули числителя \(-6{,}2\) и \(3{,}8\) включаем, нули знаменателя исключаем.
15) Дробь имеет смысл при \(x \ne -\frac{1}{3}\) и \(x \ne \frac{1}{2}\). Числитель — произведение двух квадратов; он обращается в нуль при \(x = -2\) и \(x = 6\), и через оба этих нуля знак дроби не меняется. Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-2\), \(-\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\), 6. Справа от 6 дробь положительна, на \(\left(\frac{1}{2};\ 6\right)\) тоже положительна, на \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) отрицательна, на \(\left(-2;\ -\frac{1}{3}\right)\) положительна, на \((-\infty;\ -2)\) тоже положительна. Нули числителя \(-2\) и 6 нестрогому неравенству удовлетворяют и лежат внутри найденных промежутков.
16) Дробь имеет смысл при \(x \ne 0{,}3\) и \(x \ne 0{,}8\). Множитель \((x - 4)^2\) входит в квадрате и знака не меняет, а множитель \((x - 0{,}8)^3\) меняет знак так же, как множитель \(x - 0{,}8\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-6\), \(0{,}3\), \(0{,}8\), 4. Справа от 4 дробь положительна, на \((0{,}8;\ 4)\) тоже положительна, на \((0{,}3;\ 0{,}8)\) отрицательна, на \((-6;\ 0{,}3)\) положительна, на \((-\infty;\ -6)\) отрицательна. Кроме того, при \(x = 4\) дробь равна нулю, что нестрогому неравенству удовлетворяет, поэтому число 4 входит в ответ отдельной точкой.
17) В сборнике в знаменателе пропущен квадрат; решаем неравенство \(\frac{x^4 - 24x^2 + 100}{x^4 - 17x^2 + 16} < 0\).
Числитель разложим на множители, дополнив его до квадрата разности и применив формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &x^4 - 24x^2 + 100 = \left(x^2 - 10\right)^2 - 4x^2 = {} \\ &= \left(x^2 - 2x - 10\right)\left(x^2 + 2x - 10\right). \end{aligned}\]
Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 10\): \(D = 4 + 40 = 44\), откуда \(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}\). Корни трёхчлена \(x^2 + 2x - 10\): \(D = 4 + 40 = 44\), откуда \(x = -1 \pm \sqrt{11}\).
Знаменатель — биквадратное выражение: \[x^4 - 17x^2 + 16 = \left(x^2 - 1\right)\left(x^2 - 16\right) = (x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4).\]
Дробь имеет смысл при \(x \ne \pm 1\) и \(x \ne \pm 4\). Оценим \(\sqrt{11}\): так как \(3{,}3^2 = 10{,}89\), а \(3{,}4^2 = 11{,}56\), то \(3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4\). Отсюда все восемь нулей числителя и знаменателя расположены так: \[-1 - \sqrt{11} < -4 < 1 - \sqrt{11} < -1 < 1 < -1 + \sqrt{11} < 4 < 1 + \sqrt{11}.\]
Все восемь нулей различны, поэтому знак дроби меняется при переходе через каждый из них. Справа от \(1 + \sqrt{11}\) дробь положительна, и, чередуя знаки, получаем, что дробь отрицательна на промежутках \(\left(4;\ 1 + \sqrt{11}\right)\), \(\left(1;\ -1 + \sqrt{11}\right)\), \(\left(1 - \sqrt{11};\ -1\right)\) и \(\left(-1 - \sqrt{11};\ -4\right)\).
18) Числитель разложим на множители. Уравнение \(4x^4 - 37x^2 + 9 = 0\) решим как квадратное относительно \(x^2\): \(D = 37^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225\), откуда \(x^2 = \frac{37 \pm 35}{8}\), то есть \(x^2 = 9\) или \(x^2 = \frac{1}{4}\). Значит, \[4x^4 - 37x^2 + 9 = 4(x - 3)(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right).\]
Так же разложим знаменатель. Уравнение \(9x^4 - 37x^2 + 4 = 0\) даёт \(D = 1369 - 144 = 1225\) и \(x^2 = \frac{37 \pm 35}{18}\), то есть \(x^2 = 4\) или \(x^2 = \frac{1}{9}\). Значит, \[9x^4 - 37x^2 + 4 = 9(x - 2)(x + 2)\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right).\]
Числовые множители 4 и 9 положительны и на знак дроби не влияют. Дробь имеет смысл при \(x \ne \pm 2\) и \(x \ne \pm\frac{1}{3}\). Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: \(-3\), \(-2\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\), 2, 3; все они различны, поэтому знак дроби меняется при переходе через каждый из них. Справа от 3 дробь положительна, далее знаки чередуются: на \((2;\ 3)\) отрицательна, на \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right)\) положительна, на \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right)\) отрицательна, на \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right)\) положительна, на \(\left(-\frac{1}{2};\ -\frac{1}{3}\right)\) отрицательна, на \(\left(-2;\ -\frac{1}{2}\right)\) положительна, на \((-3;\ -2)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -3)\) положительна.
Ответ: 1) \((-2;\ 3) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -1) \cup (3;\ 10)\); 3) \([-3;\ -0{,}5] \cup [0;\ 2]\); 4) \((-\infty;\ -4] \cup [0;\ 2] \cup [4;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ -4) \cup (7;\ +\infty)\); 6) \((-3;\ 6) \cup (6;\ 8)\); 7) \([-10;\ 2]\); 8) \((-\infty;\ -3] \cup [5;\ +\infty)\) и отдельное число \(x = 1\); 9) \((-\infty;\ -3{,}5] \cup (-1;\ 2{,}5] \cup (5;\ +\infty)\); 10) \([-7;\ -5{,}5) \cup (3{,}5;\ 4]\); 11) \((-\infty;\ -7) \cup (-3;\ 10) \cup (10;\ 12)\); 12) \((-8;\ -6) \cup (-6;\ -4) \cup (6;\ +\infty)\); 13) \((-\infty;\ -7{,}5) \cup [-1;\ 1] \cup (4{,}5;\ 8]\); 14) \((-\infty;\ -6{,}2] \cup (-3;\ 2) \cup (3;\ 3{,}8]\); 15) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2};\ +\infty\right)\); 16) \((-\infty;\ -6] \cup (0{,}3;\ 0{,}8)\) и отдельное число \(x = 4\); 17) \(\left(-1 - \sqrt{11};\ -4\right) \cup \left(1 - \sqrt{11};\ -1\right) \cup \left(1;\ -1 + \sqrt{11}\right) \cup \left(4;\ 1 + \sqrt{11}\right)\); 18) \((-\infty;\ -3) \cup \left(-2;\ -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (3;\ +\infty)\).
