Страница 98 номер 4.2.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти область определения функции: 1) \(y = \sqrt{\frac{-2}{3x - 10}}\); 2) \(y = \sqrt{\frac{5}{7 - 2x}}\); 3) \(y = \sqrt{\frac{x^2}{4} + 2x + 4}\); 4) \(y = \sqrt{x - 25x^2 - 0{,}01}\); 5) \(y = \sqrt{\frac{7}{0{,}04 + 9x^2 - 1{,}2x}}\); 6) \(y = \sqrt{\frac{\frac{4}{9} + 2\frac{1}{4}x^2 - 2x}{-10}}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби отличен от нуля.
1) Числитель дроби \(\frac{-2}{3x - 10}\) отрицателен, поэтому дробь нулю не равна и положительна лишь при отрицательном знаменателе:
\[\begin{aligned} &3x - 10 < 0, \\ &x < \frac{10}{3}. \end{aligned}\]
Здесь \(\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\).
2) Числитель дроби \(\frac{5}{7 - 2x}\) положителен, поэтому дробь нулю не равна и положительна лишь при положительном знаменателе:
\[\begin{aligned} &7 - 2x > 0, \\ &x < 3{,}5. \end{aligned}\]
3) Свернём подкоренное выражение в квадрат:
\[\frac{x^2}{4} + 2x + 4 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 2 + 2^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right)^2.\]
Квадрат неотрицателен при любом \(x\), поэтому корень имеет смысл при всех значениях \(x\).
4) Вынесем множитель \(-1\) и свернём квадрат разности:
\[x - 25x^2 - 0{,}01 = -\left(25x^2 - x + 0{,}01\right) = -(5x - 0{,}1)^2.\]
Требуется \(-(5x - 0{,}1)^2 \geqslant 0\), то есть \((5x - 0{,}1)^2 \leqslant 0\), а это возможно только при \(5x - 0{,}1 = 0\), откуда \(x = 0{,}02\).
5) Свернём знаменатель в квадрат разности:
\[0{,}04 + 9x^2 - 1{,}2x = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 0{,}2 + 0{,}2^2 = (3x - 0{,}2)^2.\]
Дробь \(\frac{7}{(3x - 0{,}2)^2}\) имеет смысл при \(x \ne \frac{1}{15}\) и при таких \(x\) положительна: числитель и квадрат в знаменателе положительны.
6) Свернём числитель в квадрат разности:
\[\frac{4}{9} + 2\frac{1}{4}x^2 - 2x = \left(\frac{3}{2}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}x \cdot \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3}\right)^2.\]
Подкоренное выражение равно \(-\frac{1}{10}\left(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3}\right)^2\); оно неотрицательно только тогда, когда квадрат равен нулю. Из \(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3} = 0\) получаем \(x = \frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{4}{9}\).
Ответ: 1) \(x < 3\frac{1}{3}\); 2) \(x < 3{,}5\); 3) \(x\) — любое число; 4) \(x = 0{,}02\); 5) \(x\) — любое число, кроме \(\frac{1}{15}\); 6) \(x = \frac{4}{9}\).
Найти область определения функции: 1) \(y = \sqrt{\frac{-2}{3x - 10}}\); 2) \(y = \sqrt{\frac{5}{7 - 2x}}\); 3) \(y = \sqrt{\frac{x^2}{4} + 2x + 4}\); 4) \(y = \sqrt{x - 25x^2 - 0{,}01}\); 5) \(y = \sqrt{\frac{7}{0{,}04 + 9x^2 - 1{,}2x}}\); 6) \(y = \sqrt{\frac{\frac{4}{9} + 2\frac{1}{4}x^2 - 2x}{-10}}\).
Область определения такой функции составляют те значения \(x\), при которых выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, а знаменатель дроби отличен от нуля.
1) Требуется \(\frac{-2}{3x - 10} \geqslant 0\) при \(3x - 10 \ne 0\). Числитель равен \(-2\), поэтому дробь нулю не равна ни при каком \(x\), и она должна быть положительной. Дробь с отрицательным числителем положительна при отрицательном знаменателе: \[\begin{aligned} &3x - 10 < 0, \\ &x < \frac{10}{3}. \end{aligned}\]
Здесь \(\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\).
2) Требуется \(\frac{5}{7 - 2x} \geqslant 0\) при \(7 - 2x \ne 0\). Числитель равен 5, дробь нулю не равна, и она должна быть положительной. Дробь с положительным числителем положительна при положительном знаменателе: \[\begin{aligned} &7 - 2x > 0, \\ &x < 3{,}5. \end{aligned}\]
3) Подкоренное выражение свернём в квадрат суммы: \[\frac{x^2}{4} + 2x + 4 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 2 + 2^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right)^2.\]
Квадрат неотрицателен при любом \(x\), поэтому корень имеет смысл при всех значениях \(x\).
4) Вынесем из подкоренного выражения множитель \(-1\) и свернём квадрат разности: \[x - 25x^2 - 0{,}01 = -\left(25x^2 - x + 0{,}01\right) = -(5x - 0{,}1)^2.\]
Требуется \(-(5x - 0{,}1)^2 \geqslant 0\), то есть \((5x - 0{,}1)^2 \leqslant 0\), а это возможно только при \(5x - 0{,}1 = 0\), откуда \(x = 0{,}02\).
5) Знаменатель подкоренной дроби свернём в квадрат разности: \[0{,}04 + 9x^2 - 1{,}2x = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 0{,}2 + 0{,}2^2 = (3x - 0{,}2)^2.\]
Дробь \(\frac{7}{(3x - 0{,}2)^2}\) имеет смысл при \(3x - 0{,}2 \ne 0\), то есть при \(x \ne \frac{1}{15}\), и при таких \(x\) она положительна, так как числитель положителен, а квадрат в знаменателе положителен.
6) Числитель подкоренной дроби свернём в квадрат разности: \[\frac{4}{9} + 2\frac{1}{4}x^2 - 2x = \left(\frac{3}{2}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}x \cdot \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3}\right)^2.\]
Тогда подкоренное выражение равно \(-\frac{1}{10}\left(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3}\right)^2\); оно неотрицательно только тогда, когда квадрат равен нулю. Из \(\frac{3}{2}x - \frac{2}{3} = 0\) получаем \(x = \frac{2}{3} : \frac{3}{2} = \frac{4}{9}\).
Ответ: 1) \(x < 3\frac{1}{3}\); 2) \(x < 3{,}5\); 3) \(x\) — любое число; 4) \(x = 0{,}02\); 5) \(x\) — любое число, кроме \(\frac{1}{15}\); 6) \(x = \frac{4}{9}\).
