Страница 97 номер 4.2.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство (4.2.47—4.2.48). 1) \(5x^2 + 5{,}5x > 1{,}3\); 2) \(10x^2 \le 9x + 9\); 3) \(8x^2 - 2x \ge 3\); 4) \(9x^2 + 6x < 8\); 5) \(\frac{1}{36} \le \frac{1}{3}x - x^2\); 6) \(x^2 + 0{,}16 > 0{,}8x\); 7) \(12x - 4x^2 \le 9\); 8) \(24x > 9x^2 + 16\).
1) \(5x^2 + 5{,}5x - 1{,}3 > 0\):
\[D = 5{,}5^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1{,}3) = 30{,}25 + 26 = 56{,}25,\] \[x_1 = \frac{-5{,}5 - 7{,}5}{10} = -1{,}3, \quad x_2 = \frac{-5{,}5 + 7{,}5}{10} = 0{,}2.\]
Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом положителен вне отрезка между корнями.
2) \(10x^2 - 9x - 9 \leqslant 0\):
\[D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441,\] \[x_1 = \frac{9 - 21}{20} = -0{,}6, \quad x_2 = \frac{9 + 21}{20} = 1{,}5.\]
Трёхчлен неположителен на отрезке между корнями.
3) \(8x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\):
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100,\] \[x_1 = \frac{2 - 10}{16} = -0{,}5, \quad x_2 = \frac{2 + 10}{16} = 0{,}75.\]
Трёхчлен неотрицателен вне интервала между корнями.
4) \(9x^2 + 6x - 8 < 0\):
\[D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324,\] \[x_1 = \frac{-6 - 18}{18} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-6 + 18}{18} = \frac{2}{3}.\]
Трёхчлен отрицателен между корнями.
5) Перенесём всё в левую часть:
\[x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{6}\right)^2 \leqslant 0.\]
Квадрат неотрицателен, поэтому годится только \(x - \frac{1}{6} = 0\), откуда \(x = \frac{1}{6}\).
6) Перенесём всё в левую часть:
\[\begin{aligned} &x^2 - 0{,}8x + 0{,}16 > 0, \\ &(x - 0{,}4)^2 > 0. \end{aligned}\]
Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x = 0{,}4\).
7) Перенесём всё в правую часть, чтобы старший коэффициент был положителен:
\[\begin{aligned} &0 \leqslant 4x^2 - 12x + 9, \\ &(2x - 3)^2 \geqslant 0. \end{aligned}\]
Квадрат неотрицателен при любом \(x\), поэтому неравенство верно при всех значениях \(x\).
8) Перенесём всё в правую часть:
\[\begin{aligned} &0 > 9x^2 - 24x + 16, \\ &(3x - 4)^2 < 0. \end{aligned}\]
Квадрат отрицательным не бывает, решений нет.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1{,}3) \cup (0{,}2;\ +\infty)\); 2) \([-0{,}6;\ 1{,}5]\); 3) \((-\infty;\ -0{,}5] \cup [0{,}75;\ +\infty)\); 4) \(\left(-\frac{4}{3};\ \frac{2}{3}\right)\); 5) \(x = \frac{1}{6}\); 6) \((-\infty;\ 0{,}4) \cup (0{,}4;\ +\infty)\); 7) \(x\) — любое число; 8) нет решений.
Решить неравенство (4.2.47—4.2.48). 1) \(5x^2 + 5{,}5x > 1{,}3\); 2) \(10x^2 \le 9x + 9\); 3) \(8x^2 - 2x \ge 3\); 4) \(9x^2 + 6x < 8\); 5) \(\frac{1}{36} \le \frac{1}{3}x - x^2\); 6) \(x^2 + 0{,}16 > 0{,}8x\); 7) \(12x - 4x^2 \le 9\); 8) \(24x > 9x^2 + 16\).
Каждое неравенство приведём к виду, в котором в одной части стоит квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, а в другой — нуль. Такой трёхчлен, имеющий два корня \(x_1 < x_2\), отрицателен при \(x_1 < x < x_2\) и положителен при \(x < x_1\) и при \(x > x_2\).
1) \(5x^2 + 5{,}5x - 1{,}3 > 0\). Найдём корни трёхчлена: \[D = 5{,}5^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1{,}3) = 30{,}25 + 26 = 56{,}25,\] \[x_1 = \frac{-5{,}5 - 7{,}5}{10} = -1{,}3, \quad x_2 = \frac{-5{,}5 + 7{,}5}{10} = 0{,}2.\]
Трёхчлен положителен вне отрезка между корнями.
2) \(10x^2 - 9x - 9 \leqslant 0\). Найдём корни трёхчлена: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441,\] \[x_1 = \frac{9 - 21}{20} = -0{,}6, \quad x_2 = \frac{9 + 21}{20} = 1{,}5.\]
Трёхчлен неположителен на отрезке между корнями.
3) \(8x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\). Найдём корни трёхчлена: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100,\] \[x_1 = \frac{2 - 10}{16} = -0{,}5, \quad x_2 = \frac{2 + 10}{16} = 0{,}75.\]
Трёхчлен неотрицателен вне интервала между корнями.
4) \(9x^2 + 6x - 8 < 0\). Найдём корни трёхчлена: \[D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324,\] \[x_1 = \frac{-6 - 18}{18} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-6 + 18}{18} = \frac{2}{3}.\]
Трёхчлен отрицателен между корнями.
5) Перенесём все члены неравенства \(\frac{1}{36} \leqslant \frac{1}{3}x - x^2\) в левую часть: \[x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} \leqslant 0.\]
Левая часть — квадрат разности: \(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{6}\right)^2\). Квадрат неотрицателен, поэтому неравенство \(\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 \leqslant 0\) верно только при \(x - \frac{1}{6} = 0\), откуда \(x = \frac{1}{6}\).
6) Перенесём все члены в левую часть: \[\begin{aligned} &x^2 - 0{,}8x + 0{,}16 > 0, \\ &(x - 0{,}4)^2 > 0. \end{aligned}\]
Квадрат положителен при всех \(x\), кроме того значения, при котором он обращается в нуль, то есть кроме \(x = 0{,}4\).
7) Перенесём все члены неравенства \(12x - 4x^2 \leqslant 9\) в правую часть, чтобы старший коэффициент был положителен: \[\begin{aligned} &0 \leqslant 4x^2 - 12x + 9, \\ &(2x - 3)^2 \geqslant 0. \end{aligned}\]
Квадрат неотрицателен при любом \(x\), поэтому неравенство верно при всех значениях \(x\).
8) Перенесём все члены неравенства \(24x > 9x^2 + 16\) в правую часть: \[\begin{aligned} &0 > 9x^2 - 24x + 16, \\ &(3x - 4)^2 < 0. \end{aligned}\]
Квадрат отрицательным не бывает, поэтому неравенство не имеет решений.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1{,}3) \cup (0{,}2;\ +\infty)\); 2) \([-0{,}6;\ 1{,}5]\); 3) \((-\infty;\ -0{,}5] \cup [0{,}75;\ +\infty)\); 4) \(\left(-\frac{4}{3};\ \frac{2}{3}\right)\); 5) \(x = \frac{1}{6}\); 6) \((-\infty;\ 0{,}4) \cup (0{,}4;\ +\infty)\); 7) \(x\) — любое число; 8) нет решений.
