Страница 97 номер 4.2.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство (4.2.47—4.2.48). 1) \(|x - 8| < 3\); 2) \(|x + 10| \le 5\); 3) \(|4 - x| \ge 7\); 4) \(|12 - x| > 6\); 5) \(|12 + 11x| > 8\); 6) \(|9 + 12x| > 4\); 7) \(|0{,}6x - 3| < -2\); 8) \(|7 - 0{,}5x| > 0\).
1) Расстояние от точки \(x\) до точки 8 меньше 3:
\[\begin{aligned} &-3 < x - 8 < 3, \\ &5 < x < 11. \end{aligned}\]
2) Расстояние от точки \(x\) до точки \(-10\) не больше 5:
\[\begin{aligned} &-5 \leqslant x + 10 \leqslant 5, \\ &-15 \leqslant x \leqslant -5. \end{aligned}\]
3) \(|4 - x| \geqslant 7\) означает, что \(4 - x \geqslant 7\) или \(4 - x \leqslant -7\).
Из первого: \(-x \geqslant 3\), то есть \(x \leqslant -3\).
Из второго: \(-x \leqslant -11\), то есть \(x \geqslant 11\).
4) \(|12 - x| > 6\) означает, что \(12 - x > 6\) или \(12 - x < -6\).
Из первого: \(-x > -6\), то есть \(x < 6\).
Из второго: \(-x < -18\), то есть \(x > 18\).
5) \(|12 + 11x| > 8\) означает, что \(12 + 11x > 8\) или \(12 + 11x < -8\).
Из первого: \(11x > -4\), то есть \(x > -\frac{4}{11}\).
Из второго: \(11x < -20\), то есть \(x < -1\frac{9}{11}\).
6) \(|9 + 12x| > 4\) означает, что \(9 + 12x > 4\) или \(9 + 12x < -4\).
Из первого: \(12x > -5\), то есть \(x > -\frac{5}{12}\).
Из второго: \(12x < -13\), то есть \(x < -1\frac{1}{12}\).
7) Модуль неотрицателен и меньше числа \(-2\) быть не может ни при каком \(x\): решений нет.
8) Модуль больше нуля при всех \(x\), кроме тех, при которых подмодульное выражение равно нулю. Из \(7 - 0{,}5x = 0\) получаем \(x = 14\), поэтому неравенство верно при всех \(x\), кроме \(x = 14\).
Ответ: 1) \(5 < x < 11\); 2) \(-15 \leqslant x \leqslant -5\); 3) \(x \leqslant -3\), \(x \geqslant 11\); 4) \(x < 6\), \(x > 18\); 5) \(x < -1\frac{9}{11}\), \(x > -\frac{4}{11}\); 6) \(x < -1\frac{1}{12}\), \(x > -\frac{5}{12}\); 7) нет решений; 8) \(x \ne 14\).
Решить неравенство (4.2.47—4.2.48). 1) \(|x - 8| < 3\); 2) \(|x + 10| \le 5\); 3) \(|4 - x| \ge 7\); 4) \(|12 - x| > 6\); 5) \(|12 + 11x| > 8\); 6) \(|9 + 12x| > 4\); 7) \(|0{,}6x - 3| < -2\); 8) \(|7 - 0{,}5x| > 0\).
Модуль числа — это расстояние от изображающей его точки до нуля на координатной прямой, и отрицательным он не бывает. Поэтому при \(m > 0\) неравенство «модуль выражения меньше \(m\)» означает, что само выражение заключено между \(-m\) и \(m\), а неравенство «модуль выражения больше \(m\)» означает, что выражение больше \(m\) либо меньше \(-m\).
1) Расстояние от точки \(x\) до точки 8 меньше 3, то есть \[\begin{aligned} &-3 < x - 8 < 3, \\ &5 < x < 11. \end{aligned}\]
2) Расстояние от точки \(x\) до точки \(-10\) не больше 5, то есть \[\begin{aligned} &-5 \leqslant x + 10 \leqslant 5, \\ &-15 \leqslant x \leqslant -5. \end{aligned}\]
3) Неравенство \(|4 - x| \geqslant 7\) означает, что \(4 - x \geqslant 7\) или \(4 - x \leqslant -7\). Из первого: \(-x \geqslant 3\), то есть \(x \leqslant -3\). Из второго: \(-x \leqslant -11\), то есть \(x \geqslant 11\). Решения образуют объединение двух числовых лучей.
4) Неравенство \(|12 - x| > 6\) означает, что \(12 - x > 6\) или \(12 - x < -6\). Из первого: \(-x > -6\), то есть \(x < 6\). Из второго: \(-x < -18\), то есть \(x > 18\).
5) Неравенство \(|12 + 11x| > 8\) означает, что \(12 + 11x > 8\) или \(12 + 11x < -8\). Из первого: \(11x > -4\), то есть \(x > -\frac{4}{11}\). Из второго: \(11x < -20\), то есть \(x < -1\frac{9}{11}\).
6) Неравенство \(|9 + 12x| > 4\) означает, что \(9 + 12x > 4\) или \(9 + 12x < -4\). Из первого: \(12x > -5\), то есть \(x > -\frac{5}{12}\). Из второго: \(12x < -13\), то есть \(x < -1\frac{1}{12}\).
7) Модуль — это расстояние, поэтому он неотрицателен и меньше числа \(-2\) быть не может ни при каком \(x\). Неравенство \(|0{,}6x - 3| < -2\) решений не имеет.
8) Модуль больше нуля при всех значениях \(x\), кроме тех, при которых подмодульное выражение обращается в нуль. Из \(7 - 0{,}5x = 0\) получаем \(x = 14\), поэтому неравенство \(|7 - 0{,}5x| > 0\) верно при всех \(x\), кроме \(x = 14\).
Ответ: 1) \(5 < x < 11\); 2) \(-15 \leqslant x \leqslant -5\); 3) \(x \leqslant -3\), \(x \geqslant 11\); 4) \(x < 6\), \(x > 18\); 5) \(x < -1\frac{9}{11}\), \(x > -\frac{4}{11}\); 6) \(x < -1\frac{1}{12}\), \(x > -\frac{5}{12}\); 7) нет решений; 8) \(x \ne 14\).
