Страница 97 номер 4.2.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить двойное неравенство: 1) \(-2 < 0{,}2x - 3 < 5\); 2) \(-5 \le 0{,}4x + 6 \le 2\); 3) \(-4 \le 4 - 3x \le 0\); 4) \(0 < 2 - 5x < 9\); 5) \(-3 < \frac{7 - 2x}{3} < 6\); 6) \(-2 < \frac{8 - 3x}{2} < 5\); 7) \(-2 < \frac{4x + 1}{5} + 1 < 10\); 8) \(-1 < \frac{3x - 2}{6} - 2 < 7\).
1) Прибавим 3 ко всем частям, разделим на \(0{,}2\):
\[\begin{aligned} &-2 < 0{,}2x - 3 < 5, \\ &1 < 0{,}2x < 8, \\ &5 < x < 40. \end{aligned}\]
2) Вычтем 6, разделим на \(0{,}4\):
\[\begin{aligned} &-5 \leqslant 0{,}4x + 6 \leqslant 2, \\ &-11 \leqslant 0{,}4x \leqslant -4, \\ &-27{,}5 \leqslant x \leqslant -10. \end{aligned}\]
3) Вычтем 4, разделим на \(-3\) — знаки неравенств изменены на противоположные:
\[\begin{aligned} &-4 \leqslant 4 - 3x \leqslant 0, \\ &-8 \leqslant -3x \leqslant -4, \\ &\frac{8}{3} \geqslant x \geqslant \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(1\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\frac{2}{3}\).
4) Вычтем 2, разделим на \(-5\), изменив знаки неравенств на противоположные:
\[\begin{aligned} &0 < 2 - 5x < 9, \\ &-2 < -5x < 7, \\ &0{,}4 > x > -1{,}4. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-1{,}4 < x < 0{,}4\).
5) Умножим на 3, вычтем 7, разделим на \(-2\), изменив знаки неравенств на противоположные:
\[\begin{aligned} &-3 < \frac{7 - 2x}{3} < 6, \\ &-9 < 7 - 2x < 18, \\ &-16 < -2x < 11, \\ &8 > x > -5{,}5. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-5{,}5 < x < 8\).
6) Умножим на 2, вычтем 8, разделим на \(-3\), изменив знаки неравенств на противоположные:
\[\begin{aligned} &-2 < \frac{8 - 3x}{2} < 5, \\ &-4 < 8 - 3x < 10, \\ &-12 < -3x < 2, \\ &4 > x > -\frac{2}{3}. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-\frac{2}{3} < x < 4\).
7) Вычтем 1, умножим на 5, вычтем 1, разделим на 4:
\[\begin{aligned} &-2 < \frac{4x + 1}{5} + 1 < 10, \\ &-3 < \frac{4x + 1}{5} < 9, \\ &-15 < 4x + 1 < 45, \\ &-16 < 4x < 44, \\ &-4 < x < 11. \end{aligned}\]
8) Прибавим 2, умножим на 6, прибавим 2, разделим на 3:
\[\begin{aligned} &-1 < \frac{3x - 2}{6} - 2 < 7, \\ &1 < \frac{3x - 2}{6} < 9, \\ &6 < 3x - 2 < 54, \\ &8 < 3x < 56, \\ &2\frac{2}{3} < x < 18\frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(5 < x < 40\); 2) \(-27{,}5 \leqslant x \leqslant -10\); 3) \(1\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\frac{2}{3}\); 4) \(-1{,}4 < x < 0{,}4\); 5) \(-5{,}5 < x < 8\); 6) \(-\frac{2}{3} < x < 4\); 7) \(-4 < x < 11\); 8) \(2\frac{2}{3} < x < 18\frac{2}{3}\).
Решить двойное неравенство: 1) \(-2 < 0{,}2x - 3 < 5\); 2) \(-5 \le 0{,}4x + 6 \le 2\); 3) \(-4 \le 4 - 3x \le 0\); 4) \(0 < 2 - 5x < 9\); 5) \(-3 < \frac{7 - 2x}{3} < 6\); 6) \(-2 < \frac{8 - 3x}{2} < 5\); 7) \(-2 < \frac{4x + 1}{5} + 1 < 10\); 8) \(-1 < \frac{3x - 2}{6} - 2 < 7\).
Двойное неравенство — другая запись системы из двух неравенств, поэтому преобразования выполняем сразу со всеми тремя его частями.
1) Прибавим 3 ко всем частям, затем разделим все части на \(0{,}2\): \[\begin{aligned} &-2 < 0{,}2x - 3 < 5, \\ &1 < 0{,}2x < 8, \\ &5 < x < 40. \end{aligned}\]
2) Вычтем 6 из всех частей, затем разделим все части на \(0{,}4\): \[\begin{aligned} &-5 \leqslant 0{,}4x + 6 \leqslant 2, \\ &-11 \leqslant 0{,}4x \leqslant -4, \\ &-27{,}5 \leqslant x \leqslant -10. \end{aligned}\]
3) Вычтем 4 из всех частей, затем разделим все части на \(-3\): \[\begin{aligned} &-4 \leqslant 4 - 3x \leqslant 0, \\ &-8 \leqslant -3x \leqslant -4, \\ &\frac{8}{3} \geqslant x \geqslant \frac{4}{3}. \end{aligned}\]
При делении на отрицательное число знаки неравенств изменены на противоположные. Запишем полученное двойное неравенство в привычном порядке: \(1\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\frac{2}{3}\).
4) Вычтем 2 из всех частей, затем разделим все части на \(-5\), изменив знаки неравенств на противоположные: \[\begin{aligned} &0 < 2 - 5x < 9, \\ &-2 < -5x < 7, \\ &0{,}4 > x > -1{,}4. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-1{,}4 < x < 0{,}4\).
5) Умножим все части на 3, вычтем 7, разделим все части на \(-2\), изменив знаки неравенств на противоположные: \[\begin{aligned} &-3 < \frac{7 - 2x}{3} < 6, \\ &-9 < 7 - 2x < 18, \\ &-16 < -2x < 11, \\ &8 > x > -5{,}5. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-5{,}5 < x < 8\).
6) Умножим все части на 2, вычтем 8, разделим все части на \(-3\), изменив знаки неравенств на противоположные: \[\begin{aligned} &-2 < \frac{8 - 3x}{2} < 5, \\ &-4 < 8 - 3x < 10, \\ &-12 < -3x < 2, \\ &4 > x > -\frac{2}{3}. \end{aligned}\]
В привычном порядке это \(-\frac{2}{3} < x < 4\).
7) Вычтем 1 из всех частей, умножим на 5, вычтем 1, разделим на 4: \[\begin{aligned} &-2 < \frac{4x + 1}{5} + 1 < 10, \\ &-3 < \frac{4x + 1}{5} < 9, \\ &-15 < 4x + 1 < 45, \\ &-16 < 4x < 44, \\ &-4 < x < 11. \end{aligned}\]
8) Прибавим 2 ко всем частям, умножим на 6, прибавим 2, разделим на 3: \[\begin{aligned} &-1 < \frac{3x - 2}{6} - 2 < 7, \\ &1 < \frac{3x - 2}{6} < 9, \\ &6 < 3x - 2 < 54, \\ &8 < 3x < 56, \\ &2\frac{2}{3} < x < 18\frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(5 < x < 40\); 2) \(-27{,}5 \leqslant x \leqslant -10\); 3) \(1\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\frac{2}{3}\); 4) \(-1{,}4 < x < 0{,}4\); 5) \(-5{,}5 < x < 8\); 6) \(-\frac{2}{3} < x < 4\); 7) \(-4 < x < 11\); 8) \(2\frac{2}{3} < x < 18\frac{2}{3}\).
