Страница 97 номер 4.2.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: 1) \(\frac{4x + 7}{21 - 5x} \le 0\); 2) \(\frac{6x + 11}{13 - 3x} \le 0\); 3) \(\frac{5x - 3}{4 - 3x} > 0\); 4) \(\frac{5 - 2x}{3x - 7} > 0\); 5) \(\frac{\frac{x}{2} - 4}{3x + 1} \ge 0\); 6) \(\frac{\frac{x}{3} + 2}{4x - 1} \ge 0\); 7) \(\frac{0{,}6x + 1}{0{,}9x - 5} < 0\); 8) \(\frac{0{,}3x - 4}{0{,}7x + 2} < 0\).
Знак дроби совпадает со знаком произведения её числителя и знаменателя, а нуль знаменателя из ответа исключаем.
1) Дробь имеет смысл при \(x \ne 4{,}2\). Так как \(4x + 7 = 4(x + 1{,}75)\) и \(21 - 5x = -5(x - 4{,}2)\), произведение равно \(-20(x + 1{,}75)(x - 4{,}2)\):
\[\begin{aligned} &-20(x + 1{,}75)(x - 4{,}2) \leqslant 0, \\ &(x + 1{,}75)(x - 4{,}2) \geqslant 0. \end{aligned}\]
Нули произведения — \(-1{,}75\) и \(4{,}2\). На крайнем справа промежутке оба множителя положительны, а при переходе через каждый нуль знак меняется, поэтому на \((-1{,}75;\ 4{,}2)\) произведение отрицательно, а на \((-\infty;\ -1{,}75)\) положительно. Число \(4{,}2\) исключаем.
2) Дробь имеет смысл при \(x \ne \frac{13}{3}\). Так как \(6x + 11 = 6\left(x + \frac{11}{6}\right)\) и \(13 - 3x = -3\left(x - \frac{13}{3}\right)\), произведение равно \(-18\left(x + \frac{11}{6}\right)\left(x - \frac{13}{3}\right)\):
\[\left(x + \frac{11}{6}\right)\left(x - \frac{13}{3}\right) \geqslant 0.\]
Нули — \(-\frac{11}{6}\) и \(\frac{13}{3}\). На \(\left(\frac{13}{3};\ +\infty\right)\) произведение положительно, на \(\left(-\frac{11}{6};\ \frac{13}{3}\right)\) отрицательно, на \(\left(-\infty;\ -\frac{11}{6}\right)\) положительно. Число \(\frac{13}{3}\) исключаем.
3) Так как \(5x - 3 = 5\left(x - \frac{3}{5}\right)\) и \(4 - 3x = -3\left(x - \frac{4}{3}\right)\), произведение равно \(-15\left(x - \frac{3}{5}\right)\left(x - \frac{4}{3}\right)\):
\[\left(x - \frac{3}{5}\right)\left(x - \frac{4}{3}\right) < 0.\]
Нули — \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{4}{3}\); вне их произведение положительно, между ними отрицательно.
4) Так как \(5 - 2x = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)\) и \(3x - 7 = 3\left(x - \frac{7}{3}\right)\), произведение равно \(-6\left(x - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{7}{3}\right)\):
\[\left(x - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{7}{3}\right) < 0.\]
Нули — \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\) и \(\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\); между ними произведение отрицательно.
5) Дробь имеет смысл при \(x \ne -\frac{1}{3}\). Так как \(\frac{x}{2} - 4 = \frac{1}{2}(x - 8)\) и \(3x + 1 = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\), произведение равно \(\frac{3}{2}(x - 8)\left(x + \frac{1}{3}\right)\):
\[(x - 8)\left(x + \frac{1}{3}\right) \geqslant 0.\]
Нули — \(-\frac{1}{3}\) и 8. На \((8;\ +\infty)\) произведение положительно, на \(\left(-\frac{1}{3};\ 8\right)\) отрицательно, на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\) положительно. Число \(-\frac{1}{3}\) исключаем.
6) Дробь имеет смысл при \(x \ne 0{,}25\). Так как \(\frac{x}{3} + 2 = \frac{1}{3}(x + 6)\) и \(4x - 1 = 4(x - 0{,}25)\), произведение равно \(\frac{4}{3}(x + 6)(x - 0{,}25)\):
\[(x + 6)(x - 0{,}25) \geqslant 0.\]
Нули — \(-6\) и \(0{,}25\). На \((0{,}25;\ +\infty)\) произведение положительно, на \((-6;\ 0{,}25)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -6)\) положительно. Число \(0{,}25\) исключаем.
7) Так как \(0{,}6x + 1 = 0{,}6\left(x + \frac{5}{3}\right)\) и \(0{,}9x - 5 = 0{,}9\left(x - \frac{50}{9}\right)\), произведение равно \(0{,}54\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{50}{9}\right)\):
\[\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{50}{9}\right) < 0.\]
Нули — \(-\frac{5}{3}\) и \(\frac{50}{9}\); между ними произведение отрицательно.
8) Так как \(0{,}3x - 4 = 0{,}3\left(x - \frac{40}{3}\right)\) и \(0{,}7x + 2 = 0{,}7\left(x + \frac{20}{7}\right)\), произведение равно \(0{,}21\left(x - \frac{40}{3}\right)\left(x + \frac{20}{7}\right)\):
\[\left(x - \frac{40}{3}\right)\left(x + \frac{20}{7}\right) < 0.\]
Нули — \(-\frac{20}{7}\) и \(\frac{40}{3}\); между ними произведение отрицательно.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1{,}75] \cup (4{,}2;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\infty;\ -\frac{11}{6}\right] \cup \left(\frac{13}{3};\ +\infty\right)\); 3) \(\left(\frac{3}{5};\ \frac{4}{3}\right)\); 4) \(\left(\frac{7}{3};\ \frac{5}{2}\right)\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right) \cup [8;\ +\infty)\); 6) \((-\infty;\ -6] \cup (0{,}25;\ +\infty)\); 7) \(\left(-\frac{5}{3};\ \frac{50}{9}\right)\); 8) \(\left(-\frac{20}{7};\ \frac{40}{3}\right)\).
Решить неравенство: 1) \(\frac{4x + 7}{21 - 5x} \le 0\); 2) \(\frac{6x + 11}{13 - 3x} \le 0\); 3) \(\frac{5x - 3}{4 - 3x} > 0\); 4) \(\frac{5 - 2x}{3x - 7} > 0\); 5) \(\frac{\frac{x}{2} - 4}{3x + 1} \ge 0\); 6) \(\frac{\frac{x}{3} + 2}{4x - 1} \ge 0\); 7) \(\frac{0{,}6x + 1}{0{,}9x - 5} < 0\); 8) \(\frac{0{,}3x - 4}{0{,}7x + 2} < 0\).
Знак дроби совпадает со знаком произведения её числителя и знаменателя при всех значениях \(x\), при которых дробь имеет смысл. Поэтому каждое неравенство заменяем неравенством с произведением, а нуль знаменателя из ответа исключаем.
1) Дробь \(\frac{4x + 7}{21 - 5x}\) имеет смысл при \(21 - 5x \ne 0\), то есть при \(x \ne 4{,}2\). Так как \(4x + 7 = 4(x + 1{,}75)\) и \(21 - 5x = -5(x - 4{,}2)\), произведение числителя и знаменателя равно \(-20(x + 1{,}75)(x - 4{,}2)\), и неравенство принимает вид \[\begin{aligned} &-20(x + 1{,}75)(x - 4{,}2) \leqslant 0, \\ &(x + 1{,}75)(x - 4{,}2) \geqslant 0. \end{aligned}\]
Нули произведения — числа \(-1{,}75\) и \(4{,}2\); они разбивают числовую прямую на промежутки \((-\infty;\ -1{,}75)\), \((-1{,}75;\ 4{,}2)\) и \((4{,}2;\ +\infty)\). На крайнем справа промежутке оба множителя положительны, значит, произведение положительно; при переходе через каждый нуль знак меняется, поэтому на \((-1{,}75;\ 4{,}2)\) произведение отрицательно, а на \((-\infty;\ -1{,}75)\) положительно. Число \(4{,}2\) исключаем.
2) Дробь имеет смысл при \(x \ne \frac{13}{3}\). Так как \(6x + 11 = 6\left(x + \frac{11}{6}\right)\) и \(13 - 3x = -3\left(x - \frac{13}{3}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(-18\left(x + \frac{11}{6}\right)\left(x - \frac{13}{3}\right)\), и неравенство принимает вид \[\left(x + \frac{11}{6}\right)\left(x - \frac{13}{3}\right) \geqslant 0.\]
Нули произведения — числа \(-\frac{11}{6}\) и \(\frac{13}{3}\). На \(\left(\frac{13}{3};\ +\infty\right)\) произведение положительно, на \(\left(-\frac{11}{6};\ \frac{13}{3}\right)\) отрицательно, на \(\left(-\infty;\ -\frac{11}{6}\right)\) положительно. Число \(\frac{13}{3}\) исключаем.
3) Так как \(5x - 3 = 5\left(x - \frac{3}{5}\right)\) и \(4 - 3x = -3\left(x - \frac{4}{3}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(-15\left(x - \frac{3}{5}\right)\left(x - \frac{4}{3}\right)\), и неравенство принимает вид \[\left(x - \frac{3}{5}\right)\left(x - \frac{4}{3}\right) < 0.\]
Нули произведения — числа \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{4}{3}\); вне их произведение положительно, а между ними отрицательно.
4) Так как \(5 - 2x = -2\left(x - \frac{5}{2}\right)\) и \(3x - 7 = 3\left(x - \frac{7}{3}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(-6\left(x - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{7}{3}\right)\), и неравенство принимает вид \[\left(x - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{7}{3}\right) < 0.\]
Нули произведения — числа \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{5}{2}\), причём \(\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\) меньше, чем \(\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\). Между ними произведение отрицательно.
5) Дробь имеет смысл при \(3x + 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\frac{1}{3}\). Так как \(\frac{x}{2} - 4 = \frac{1}{2}(x - 8)\) и \(3x + 1 = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(\frac{3}{2}(x - 8)\left(x + \frac{1}{3}\right)\), и неравенство принимает вид \[(x - 8)\left(x + \frac{1}{3}\right) \geqslant 0.\]
Нули произведения — числа \(-\frac{1}{3}\) и 8. На \((8;\ +\infty)\) произведение положительно, на \(\left(-\frac{1}{3};\ 8\right)\) отрицательно, на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right)\) положительно. Число \(-\frac{1}{3}\) исключаем.
6) Дробь имеет смысл при \(4x - 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne 0{,}25\). Так как \(\frac{x}{3} + 2 = \frac{1}{3}(x + 6)\) и \(4x - 1 = 4(x - 0{,}25)\), произведение числителя и знаменателя равно \(\frac{4}{3}(x + 6)(x - 0{,}25)\), и неравенство принимает вид \[(x + 6)(x - 0{,}25) \geqslant 0.\]
Нули произведения — числа \(-6\) и \(0{,}25\). На \((0{,}25;\ +\infty)\) произведение положительно, на \((-6;\ 0{,}25)\) отрицательно, на \((-\infty;\ -6)\) положительно. Число \(0{,}25\) исключаем.
7) Так как \(0{,}6x + 1 = 0{,}6\left(x + \frac{5}{3}\right)\) и \(0{,}9x - 5 = 0{,}9\left(x - \frac{50}{9}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(0{,}54\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{50}{9}\right)\), и неравенство принимает вид \[\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x - \frac{50}{9}\right) < 0.\]
Нули произведения — числа \(-\frac{5}{3}\) и \(\frac{50}{9}\); между ними произведение отрицательно.
8) Так как \(0{,}3x - 4 = 0{,}3\left(x - \frac{40}{3}\right)\) и \(0{,}7x + 2 = 0{,}7\left(x + \frac{20}{7}\right)\), произведение числителя и знаменателя равно \(0{,}21\left(x - \frac{40}{3}\right)\left(x + \frac{20}{7}\right)\), и неравенство принимает вид \[\left(x - \frac{40}{3}\right)\left(x + \frac{20}{7}\right) < 0.\]
Нули произведения — числа \(-\frac{20}{7}\) и \(\frac{40}{3}\); между ними произведение отрицательно.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1{,}75] \cup (4{,}2;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\infty;\ -\frac{11}{6}\right] \cup \left(\frac{13}{3};\ +\infty\right)\); 3) \(\left(\frac{3}{5};\ \frac{4}{3}\right)\); 4) \(\left(\frac{7}{3};\ \frac{5}{2}\right)\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{3}\right) \cup [8;\ +\infty)\); 6) \((-\infty;\ -6] \cup (0{,}25;\ +\infty)\); 7) \(\left(-\frac{5}{3};\ \frac{50}{9}\right)\); 8) \(\left(-\frac{20}{7};\ \frac{40}{3}\right)\).
