7класс

Страница 97 номер 4.2.44, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§4. Неравенства. 4.2. Неравенства и системы неравенств с неизвестными. Страница 97. Номер 4.2.44

Задание / условие:

Решить систему неравенств (4.2.43—4.2.44). 1) \(\begin{cases}x > 4,\\ x < 25,\\ x > 6;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x < 17,\\ x \ge 12,\\ x > 11;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}2x \le 19,\\ 3x < 14,\\ 5x > -1;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}3x < 18,\\ 4x > 19,\\ 2x < 11;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}3 - x < 15,\\ 5 + x \ge -2,\\ 4 - 3x < 20;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}4 + 2x < 17,\\ 7 - x \ge 3,\\ 5 - 3x \ge -6;\end{cases}\) 7) \(\begin{cases}x - 6 > 2x + 3,\\ 5x + 4 > 3x - 2,\\ 28x - 7 \le 15x + 3;\end{cases}\) 8) \(\begin{cases}3x + 4 \le 7 - x,\\ 6 - 2x > 4x + 3,\\ 19x - 13 > 12x + 3.\end{cases}\)

Решение:

1) \(x > 4\) и \(x > 6\) вместе дают \(x > 6\); вместе с \(x < 25\) получаем \(6 < x < 25\).

2) \(x \geqslant 12\) и \(x > 11\) вместе дают \(x \geqslant 12\); вместе с \(x < 17\) получаем \(12 \leqslant x < 17\).

3) Разделим каждое неравенство на положительный коэффициент при \(x\) — знаки сохраняются:

\[\begin{cases} x \leqslant 9{,}5, \\ x < 4\frac{2}{3}, \\ x > -0{,}2 \end{cases}\]

Из первых двух остаётся более сильное \(x < 4\frac{2}{3}\), поэтому \(-0{,}2 < x < 4\frac{2}{3}\).

4) Разделим каждое неравенство на коэффициент при \(x\):

\[\begin{cases} x < 6, \\ x > 4{,}75, \\ x < 5{,}5 \end{cases}\]

Из \(x < 6\) и \(x < 5{,}5\) остаётся \(x < 5{,}5\), поэтому \(4{,}75 < x < 5{,}5\).

5) Из \(3 - x < 15\): \(-x < 12\), то есть \(x > -12\).

Из \(5 + x \geqslant -2\): \(x \geqslant -7\).

Из \(4 - 3x < 20\): \(-3x < 16\), то есть \(x > -5\frac{1}{3}\) — при делении на \(-3\) знак неравенства изменён на противоположный.

Все три неравенства ограничивают \(x\) снизу; самая правая из границ — число \(-5\frac{1}{3}\), поэтому \(x > -5\frac{1}{3}\).

6) Из \(4 + 2x < 17\): \(2x < 13\), то есть \(x < 6{,}5\).

Из \(7 - x \geqslant 3\): \(-x \geqslant -4\), то есть \(x \leqslant 4\).

Из \(5 - 3x \geqslant -6\): \(-3x \geqslant -11\), то есть \(x \leqslant 3\frac{2}{3}\); в двух последних неравенствах знак неравенства изменён на противоположный при делении на отрицательное число.

Все три неравенства ограничивают \(x\) сверху; самая левая из границ — число \(3\frac{2}{3}\), поэтому \(x \leqslant 3\frac{2}{3}\).

7) Из \(x - 6 > 2x + 3\): \(-x > 9\), то есть \(x < -9\).

Из \(5x + 4 > 3x - 2\): \(2x > -6\), то есть \(x > -3\).

Из \(28x - 7 \leqslant 15x + 3\): \(13x \leqslant 10\), то есть \(x \leqslant \frac{10}{13}\).

Числа, меньшие \(-9\), и числа, большие \(-3\), общих элементов не имеют — решений нет.

8) Из \(3x + 4 \leqslant 7 - x\): \(4x \leqslant 3\), то есть \(x \leqslant 0{,}75\).

Из \(6 - 2x > 4x + 3\): \(-6x > -3\), то есть \(x < 0{,}5\).

Из \(19x - 13 > 12x + 3\): \(7x > 16\), то есть \(x > 2\frac{2}{7}\).

Числа, меньшие \(0{,}5\), и числа, большие \(2\frac{2}{7}\), общих элементов не имеют — решений нет.

Ответ: 1) \(6 < x < 25\); 2) \(12 \leqslant x < 17\); 3) \(-0{,}2 < x < 4\frac{2}{3}\); 4) \(4{,}75 < x < 5{,}5\); 5) \(x > -5\frac{1}{3}\); 6) \(x \leqslant 3\frac{2}{3}\); 7) нет решений; 8) нет решений.

Задание / условие:

Решение:

1) Неравенства \(x > 4\) и \(x > 6\) вместе дают \(x > 6\); вместе с \(x < 25\) получаем \(6 < x < 25\).

2) Неравенства \(x \geqslant 12\) и \(x > 11\) вместе дают \(x \geqslant 12\); вместе с \(x < 17\) получаем \(12 \leqslant x < 17\).

3) Разделим каждое неравенство на коэффициент при \(x\); все коэффициенты положительны, поэтому знаки сохраняются: \[\begin{cases} x \leqslant 9{,}5, \\ x < 4\frac{2}{3}, \\ x > -0{,}2 \end{cases}\]

Из первых двух неравенств остаётся более сильное \(x < 4\frac{2}{3}\), и решения системы — числа, для которых \(-0{,}2 < x < 4\frac{2}{3}\).

4) Разделив каждое неравенство на коэффициент при \(x\), получим \[\begin{cases} x < 6, \\ x > 4{,}75, \\ x < 5{,}5 \end{cases}\]

Из \(x < 6\) и \(x < 5{,}5\) остаётся \(x < 5{,}5\), поэтому решения системы — числа, для которых \(4{,}75 < x < 5{,}5\).

5) Из \(3 - x < 15\) получаем \(-x < 12\), то есть \(x > -12\). Из \(5 + x \geqslant -2\) получаем \(x \geqslant -7\). Из \(4 - 3x < 20\) получаем \(-3x < 16\), то есть \(x > -5\frac{1}{3}\) — при делении на \(-3\) знак неравенства изменён на противоположный. Все три неравенства ограничивают \(x\) снизу, и самая правая из границ — число \(-5\frac{1}{3}\), поэтому решения системы — числа, большие \(-5\frac{1}{3}\).

6) Из \(4 + 2x < 17\) получаем \(2x < 13\), то есть \(x < 6{,}5\). Из \(7 - x \geqslant 3\) получаем \(-x \geqslant -4\), то есть \(x \leqslant 4\). Из \(5 - 3x \geqslant -6\) получаем \(-3x \geqslant -11\), то есть \(x \leqslant 3\frac{2}{3}\); в двух последних неравенствах знак неравенства изменён на противоположный при делении на отрицательное число. Все три неравенства ограничивают \(x\) сверху, и самая левая из границ — число \(3\frac{2}{3}\), поэтому решения системы — числа, не большие \(3\frac{2}{3}\).

7) Из \(x - 6 > 2x + 3\) получаем \(-x > 9\), то есть \(x < -9\). Из \(5x + 4 > 3x - 2\) получаем \(2x > -6\), то есть \(x > -3\). Из \(28x - 7 \leqslant 15x + 3\) получаем \(13x \leqslant 10\), то есть \(x \leqslant \frac{10}{13}\). Числа, меньшие \(-9\), и числа, большие \(-3\), общих элементов не имеют, значит, система решений не имеет.

8) Из \(3x + 4 \leqslant 7 - x\) получаем \(4x \leqslant 3\), то есть \(x \leqslant 0{,}75\). Из \(6 - 2x > 4x + 3\) получаем \(-6x > -3\), то есть \(x < 0{,}5\). Из \(19x - 13 > 12x + 3\) получаем \(7x > 16\), то есть \(x > 2\frac{2}{7}\). Числа, меньшие \(0{,}5\), и числа, большие \(2\frac{2}{7}\), общих элементов не имеют, значит, система решений не имеет.