Страница 95 номер 4.2.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: 1) \((x + 7)^2 - 2x^2 + 3 < (2x - 3)^2 - 5x^2 - 7\); 2) \((4x - 1)^2 + 8 - 10x^2 \ge (3x + 4)^2 - 3x^2 - 1\); 3) \((x - 3)^3 \ge (x + 2)^3 + 2x - 15x^2 + 7\); 4) \((2x + 1)^3 < (2x - 1)^3 + 24x^2 - 8x + 10\); 5) \(2x - 1 - \frac{2x + 3}{3} < x - 3 + \frac{4}{3}(x + 1)\); 6) \(\frac{4}{21} - \frac{2x + 1}{3} \ge \frac{2x}{7} + \frac{5}{21}\).
1) \(x^2 + 14x + 49 - 2x^2 + 3 < 4x^2 - 12x + 9 - 5x^2 - 7\), \(-x^2 + 14x + 52 < -x^2 - 12x + 2\). Слагаемое \(-x^2\) есть и слева, и справа: \(14x + 12x < 2 - 52\), \(26x < -50\), \(x < -\frac{25}{13}\).
2) \(16x^2 - 8x + 1 + 8 - 10x^2 \geqslant 9x^2 + 24x + 16 - 3x^2 - 1\), \(6x^2 - 8x + 9 \geqslant 6x^2 + 24x + 15\). Слагаемое \(6x^2\) есть и слева, и справа: \(-8x - 24x \geqslant 15 - 9\), \(-32x \geqslant 6\); разделим обе части на \(-32\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \(x \leqslant -\frac{3}{16}\).
3) \((x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\) и \((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\), поэтому \(x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \geqslant x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + 2x - 15x^2 + 7\), то есть \(x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \geqslant x^3 - 9x^2 + 14x + 15\). Слагаемые \(x^3\) и \(-9x^2\) есть и слева, и справа: \(27x - 14x \geqslant 15 + 27\), \(13x \geqslant 42\), \(x \geqslant \frac{42}{13}\).
4) \((2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\) и \((2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\), поэтому \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 < 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 + 24x^2 - 8x + 10\), то есть \(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 < 8x^3 + 12x^2 - 2x + 9\). Слагаемые \(8x^3\) и \(12x^2\) есть и слева, и справа: \(6x + 2x < 9 - 1\), \(8x < 8\), \(x < 1\).
5) Умножим обе части на \(3\): \(6x - 3 - (2x + 3) < 3x - 9 + 4(x + 1)\), \(6x - 3 - 2x - 3 < 3x - 9 + 4x + 4\), \(4x - 6 < 7x - 5\), \(4x - 7x < -5 + 6\), \(-3x < 1\); разделим обе части на \(-3\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \(x > -\frac{1}{3}\).
6) Умножим обе части на \(21\): \(4 - 7(2x + 1) \geqslant 6x + 5\), \(4 - 14x - 7 \geqslant 6x + 5\), \(-14x - 3 \geqslant 6x + 5\), \(-14x - 6x \geqslant 5 + 3\), \(-20x \geqslant 8\); разделим обе части на \(-20\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x \leqslant -0{,}4\).
Ответ: 1) \(x < -\frac{25}{13}\); 2) \(x \leqslant -\frac{3}{16}\); 3) \(x \geqslant \frac{42}{13}\); 4) \(x < 1\); 5) \(x > -\frac{1}{3}\); 6) \(x \leqslant -0{,}4\).
Решить неравенство: 1) \((x + 7)^2 - 2x^2 + 3 < (2x - 3)^2 - 5x^2 - 7\); 2) \((4x - 1)^2 + 8 - 10x^2 \ge (3x + 4)^2 - 3x^2 - 1\); 3) \((x - 3)^3 \ge (x + 2)^3 + 2x - 15x^2 + 7\); 4) \((2x + 1)^3 < (2x - 1)^3 + 24x^2 - 8x + 10\); 5) \(2x - 1 - \frac{2x + 3}{3} < x - 3 + \frac{4}{3}(x + 1)\); 6) \(\frac{4}{21} - \frac{2x + 1}{3} \ge \frac{2x}{7} + \frac{5}{21}\).
1) Раскроем скобки в обеих частях неравенства: \[x^2 + 14x + 49 - 2x^2 + 3 < 4x^2 - 12x + 9 - 5x^2 - 7.\]
Приведём подобные слагаемые в каждой части: \[-x^2 + 14x + 52 < -x^2 - 12x + 2.\]
Слагаемое \(-x^2\) есть и слева, и справа; перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[14x + 12x < 2 - 52,\] \[26x < -50,\] \[x < -\frac{25}{13}.\]
2) Раскроем скобки в обеих частях неравенства: \[16x^2 - 8x + 1 + 8 - 10x^2 \geqslant 9x^2 + 24x + 16 - 3x^2 - 1.\]
Приведём подобные слагаемые в каждой части: \[6x^2 - 8x + 9 \geqslant 6x^2 + 24x + 15.\]
Слагаемое \(6x^2\) есть и слева, и справа: \[-8x - 24x \geqslant 15 - 9,\] \[-32x \geqslant 6.\]
Разделим обе части неравенства на \(-32\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \[x \leqslant -\frac{3}{16}.\]
3) Возведём двучлены в куб: \((x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\) и \((x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\). Неравенство принимает вид \[x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \geqslant x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + 2x - 15x^2 + 7.\]
Приведём подобные слагаемые в правой части: \[x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \geqslant x^3 - 9x^2 + 14x + 15.\]
Слагаемые \(x^3\) и \(-9x^2\) есть и слева, и справа: \[27x - 14x \geqslant 15 + 27,\] \[13x \geqslant 42,\] \[x \geqslant \frac{42}{13}.\]
4) Возведём двучлены в куб: \((2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1\) и \((2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\). Неравенство принимает вид \[8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 < 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 + 24x^2 - 8x + 10.\]
Приведём подобные слагаемые в правой части: \[8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 < 8x^3 + 12x^2 - 2x + 9.\]
Слагаемые \(8x^3\) и \(12x^2\) есть и слева, и справа: \[6x + 2x < 9 - 1,\] \[8x < 8,\] \[x < 1.\]
5) Умножим обе части неравенства на \(3\) — это положительное число, поэтому знак неравенства сохраняется: \[6x - 3 - (2x + 3) < 3x - 9 + 4(x + 1).\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[6x - 3 - 2x - 3 < 3x - 9 + 4x + 4,\] \[4x - 6 < 7x - 5.\]
Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[4x - 7x < -5 + 6,\] \[-3x < 1.\]
Разделим обе части неравенства на \(-3\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \[x > -\frac{1}{3}.\]
6) Умножим обе части неравенства на \(21\): \[4 - 7(2x + 1) \geqslant 6x + 5.\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части: \[4 - 14x - 7 \geqslant 6x + 5,\] \[-14x - 3 \geqslant 6x + 5.\]
Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: \[-14x - 6x \geqslant 5 + 3,\] \[-20x \geqslant 8.\]
Разделим обе части неравенства на \(-20\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \[x \leqslant -0{,}4.\]
Ответ: 1) \(x < -\frac{25}{13}\); 2) \(x \leqslant -\frac{3}{16}\); 3) \(x \geqslant \frac{42}{13}\); 4) \(x < 1\); 5) \(x > -\frac{1}{3}\); 6) \(x \leqslant -0{,}4\).
