Страница 94 номер 4.2.25, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить неравенство: 1) \((x - 7)(x + 8) > 0\); 2) \((x + 9)(x - 5) > 0\); 3) \((x + 2)(x - 5) \le 0\); 4) \((x - 6)(x + 1) \le 0\); 5) \((5 - x)\left(x + \frac{1}{2}\right) > 0\); 6) \(\left(x - \frac{1}{3}\right)(4 - x) < 0\).
1) Нули функции \(f(x) = (x - 7)(x + 8)\) — числа \(-8\) и \(7\); они разбивают координатную прямую на промежутки \((-\infty;\ -8)\), \((-8;\ 7)\) и \((7;\ +\infty)\). На крайнем справа промежутке оба множителя положительны, поэтому там \(f(x) > 0\); при переходе через каждый нуль знак функции меняется, значит, на \((-8;\ 7)\) функция отрицательна, а на \((-\infty;\ -8)\) положительна. Множество решений — объединение промежутков \((-\infty;\ -8)\) и \((7;\ +\infty)\).
2) Нули функции \(f(x) = (x + 9)(x - 5)\) — числа \(-9\) и \(5\). На \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на \((-9;\ 5)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -9)\) положительна. Множество решений — объединение промежутков \((-\infty;\ -9)\) и \((5;\ +\infty)\).
3) Нули функции \(f(x) = (x + 2)(x - 5)\) — числа \(-2\) и \(5\). На \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на \((-2;\ 5)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -2)\) положительна. Неравенство нестрогое, поэтому нули функции тоже являются решениями: отрезок \([-2;\ 5]\).
4) Нули функции \(f(x) = (x - 6)(x + 1)\) — числа \(-1\) и \(6\). На \((6;\ +\infty)\) функция положительна, на \((-1;\ 6)\) отрицательна, на \((-\infty;\ -1)\) положительна. Вместе с нулями функции получаем отрезок \([-1;\ 6]\).
5) Вынесем в первом множителе за скобки \(-1\): \(-(x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) > 0\); разделим обе части на \(-1\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \((x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) < 0\). Нули функции \(f(x) = (x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right)\) — числа \(-\frac{1}{2}\) и \(5\). На \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\) отрицательна, на \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\) положительна. Множество решений — интервал \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\).
6) Вынесем во втором множителе за скобки \(-1\): \(-\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4) < 0\); разделим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \(\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4) > 0\). Нули функции \(f(x) = \left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4)\) — числа \(\frac{1}{3}\) и \(4\). На \((4;\ +\infty)\) функция положительна, на \(\left(\frac{1}{3};\ 4\right)\) отрицательна, на \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right)\) положительна. Множество решений — объединение промежутков \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right)\) и \((4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -8) \cup (7;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -9) \cup (5;\ +\infty)\); 3) \([-2;\ 5]\); 4) \([-1;\ 6]\); 5) \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\); 6) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right) \cup (4;\ +\infty)\).
Решить неравенство: 1) \((x - 7)(x + 8) > 0\); 2) \((x + 9)(x - 5) > 0\); 3) \((x + 2)(x - 5) \le 0\); 4) \((x - 6)(x + 1) \le 0\); 5) \((5 - x)\left(x + \frac{1}{2}\right) > 0\); 6) \(\left(x - \frac{1}{3}\right)(4 - x) < 0\).
1) Нулями функции \(f(x) = (x - 7)(x + 8)\) являются числа \(-8\) и \(7\). Они разбивают координатную прямую на промежутки \((-\infty;\ -8)\), \((-8;\ 7)\) и \((7;\ +\infty)\). На крайнем справа промежутке оба множителя положительны, поэтому там \(f(x) > 0\); при переходе через каждый нуль знак функции меняется, значит, на промежутке \((-8;\ 7)\) функция отрицательна, а на промежутке \((-\infty;\ -8)\) — положительна. Множеством решений неравенства является объединение промежутков \((-\infty;\ -8)\) и \((7;\ +\infty)\).
2) Нулями функции \(f(x) = (x + 9)(x - 5)\) являются числа \(-9\) и \(5\). На крайнем справа промежутке \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на промежутке \((-9;\ 5)\) отрицательна, на промежутке \((-\infty;\ -9)\) положительна. Множеством решений является объединение промежутков \((-\infty;\ -9)\) и \((5;\ +\infty)\).
3) Нулями функции \(f(x) = (x + 2)(x - 5)\) являются числа \(-2\) и \(5\). На промежутке \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на промежутке \((-2;\ 5)\) отрицательна, на промежутке \((-\infty;\ -2)\) положительна. Неравенство нестрогое, поэтому нули функции тоже являются его решениями. Множество решений — отрезок \([-2;\ 5]\).
4) Нулями функции \(f(x) = (x - 6)(x + 1)\) являются числа \(-1\) и \(6\). На промежутке \((6;\ +\infty)\) функция положительна, на промежутке \((-1;\ 6)\) отрицательна, на промежутке \((-\infty;\ -1)\) положительна. Вместе с нулями функции получаем множество решений — отрезок \([-1;\ 6]\).
5) Вынесем в первом множителе за скобки \(-1\): \[-(x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) > 0.\]
Разделим обе части неравенства на \(-1\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \[(x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) < 0.\]
Нулями функции \(f(x) = (x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right)\) являются числа \(-\frac{1}{2}\) и \(5\). На промежутке \((5;\ +\infty)\) функция положительна, на промежутке \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\) отрицательна, на промежутке \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right)\) положительна. Множество решений — интервал \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\).
6) Вынесем во втором множителе за скобки \(-1\): \[-\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4) < 0.\]
Разделим обе части неравенства на \(-1\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \[\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4) > 0.\]
Нулями функции \(f(x) = \left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4)\) являются числа \(\frac{1}{3}\) и \(4\). На промежутке \((4;\ +\infty)\) функция положительна, на промежутке \(\left(\frac{1}{3};\ 4\right)\) отрицательна, на промежутке \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right)\) положительна. Множеством решений является объединение промежутков \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right)\) и \((4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -8) \cup (7;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -9) \cup (5;\ +\infty)\); 3) \([-2;\ 5]\); 4) \([-1;\ 6]\); 5) \(\left(-\frac{1}{2};\ 5\right)\); 6) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right) \cup (4;\ +\infty)\).
