Страницы 93-94 номер 4.2.24, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Чтобы решить неравенство второй степени по графику, находят корни квадратного трёхчлена, отмечают их на оси \(x\) и проводят через отмеченные точки схематически параболу: при положительном коэффициенте при \(x^2\) ветви направлены вверх, при отрицательном — вниз. Если корней нет, парабола целиком расположена выше оси \(x\) (при положительном коэффициенте) или ниже неё (при отрицательном). Затем по чертежу читают промежутки, на которых график лежит выше или ниже оси \(x\). Разных квадратных трёхчленов здесь шестнадцать, причём по одной параболе читается сразу несколько пунктов: такой чертёж дан после первого из них, а подпись под ним указывает все пункты, которые по нему решаются.

1) Графиком функции \(y = x^2 - x - 6\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\): \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25\), уравнение имеет корни \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 3\). Парабола пересекает ось \(x\) в точках \(-2\) и \(3\), а выше оси \(x\) она расположена левее точки \(-2\) и правее точки \(3\). Множеством решений является объединение промежутков \((-\infty;\ -2)\) и \((3;\ +\infty)\).

2) Ниже оси \(x\) та же парабола расположена между точками \(-2\) и \(3\); неравенство нестрогое, поэтому сами корни тоже являются его решениями. Множество решений — отрезок \([-2;\ 3]\).

3) Графиком функции \(y = 2x^2 + 5x - 3\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение \(2x^2 + 5x - 3 = 0\): \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49\), уравнение имеет корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 0{,}5\). Ниже оси \(x\) парабола расположена между корнями, и они сами тоже входят в множество решений нестрогого неравенства: это отрезок \([-3;\ 0{,}5]\).

4) Выше оси \(x\) та же парабола расположена левее точки \(-3\) и правее точки \(0{,}5\). Множеством решений является объединение промежутков \((-\infty;\ -3)\) и \((0{,}5;\ +\infty)\).

5) Коэффициент при \(x^2\) в трёхчлене \(-x^2 + 2x + 15\) отрицателен, поэтому ветви параболы \(y = -x^2 + 2x + 15\) направлены вниз. Решим уравнение \(-x^2 + 2x + 15 = 0\): \(D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 15 = 64\), уравнение имеет корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 5\). Выше оси \(x\) такая парабола расположена между корнями. Множество решений — интервал \((-3;\ 5)\).

6) Ниже оси \(x\) та же парабола расположена левее точки \(-3\) и правее точки \(5\); неравенство нестрогое, поэтому корни входят в множество решений. Это объединение промежутков \((-\infty;\ -3]\) и \([5;\ +\infty)\).

7) Ветви параболы \(y = -x^2 + 6x + 7\) направлены вниз. Решим уравнение \(-x^2 + 6x + 7 = 0\): \(D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 7 = 64\), уравнение имеет корни \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 7\). Ниже оси \(x\) парабола расположена левее точки \(-1\) и правее точки \(7\), а корни входят в множество решений нестрогого неравенства. Это объединение промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([7;\ +\infty)\).

8) Выше оси \(x\) та же парабола расположена между корнями. Множество решений — интервал \((-1;\ 7)\).

9) Ветви параболы \(y = x^2 - 25\) направлены вверх, а уравнение \(x^2 - 25 = 0\) имеет корни \(-5\) и \(5\). Выше оси \(x\) парабола расположена левее точки \(-5\) и правее точки \(5\). Множеством решений является объединение промежутков \((-\infty;\ -5)\) и \((5;\ +\infty)\).

10) Ветви параболы \(y = x^2 - 9\) направлены вверх, а уравнение \(x^2 - 9 = 0\) имеет корни \(-3\) и \(3\). Ниже оси \(x\) парабола расположена между корнями. Множество решений — интервал \((-3;\ 3)\).

11) Ветви параболы \(y = -x^2 + 16\) направлены вниз, а уравнение \(-x^2 + 16 = 0\) имеет корни \(-4\) и \(4\). Выше оси \(x\) парабола расположена между корнями, и они сами входят в множество решений нестрогого неравенства. Это отрезок \([-4;\ 4]\).

12) Ветви параболы \(y = -x^2 + 49\) направлены вниз, а уравнение \(-x^2 + 49 = 0\) имеет корни \(-7\) и \(7\). Ниже оси \(x\) парабола расположена левее точки \(-7\) и правее точки \(7\), корни входят в множество решений. Это объединение промежутков \((-\infty;\ -7]\) и \([7;\ +\infty)\).

13) Ветви параболы \(y = 2x^2 + x\) направлены вверх. Уравнение \(2x^2 + x = 0\) запишем в виде \(x(2x + 1) = 0\); его корни \(x_1 = -0{,}5\) и \(x_2 = 0\). Ниже оси \(x\) парабола расположена между корнями, и они сами входят в множество решений нестрогого неравенства. Это отрезок \([-0{,}5;\ 0]\).

14) Ветви параболы \(y = 3x^2 - x\) направлены вверх. Уравнение \(3x^2 - x = 0\) запишем в виде \(x(3x - 1) = 0\); его корни \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{1}{3}\). Выше оси \(x\) парабола расположена левее точки \(0\) и правее точки \(\frac{1}{3}\), корни входят в множество решений. Это объединение промежутков \((-\infty;\ 0]\) и \(\left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).

15) Коэффициент при \(x^2\) в трёхчлене \(2x - 5x^2\) равен \(-5\), поэтому ветви параболы \(y = 2x - 5x^2\) направлены вниз. Уравнение \(2x - 5x^2 = 0\) запишем в виде \(x(2 - 5x) = 0\); его корни \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 0{,}4\). Ниже оси \(x\) парабола расположена левее точки \(0\) и правее точки \(0{,}4\). Множеством решений является объединение промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0{,}4;\ +\infty)\).

16) Ветви параболы \(y = 4x - 3x^2\) направлены вниз. Уравнение \(4x - 3x^2 = 0\) запишем в виде \(x(4 - 3x) = 0\); его корни \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{4}{3}\). Выше оси \(x\) парабола расположена между корнями. Множество решений — интервал \(\left(0;\ \frac{4}{3}\right)\).

17) Ветви параболы \(y = 3x^2 + x + 2\) направлены вверх. Уравнение \(3x^2 + x + 2 = 0\) корней не имеет, так как \(D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = -23\), то есть \(D < 0\). Значит, парабола не имеет общих точек с осью \(x\) и целиком расположена выше неё, поэтому неравенство \(3x^2 + x + 2 > 0\) верно при любом \(x\).

18) Та же парабола целиком расположена выше оси \(x\), поэтому и нестрогое неравенство \(3x^2 + x + 2 \geqslant 0\) верно при любом \(x\).

19) Ни одна точка этой параболы не лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(3x^2 + x + 2 < 0\) решений не имеет.

20) Ни одна точка этой параболы не лежит ниже оси \(x\) и ни одна не лежит на ней, поэтому неравенство \(3x^2 + x + 2 \leqslant 0\) решений не имеет.

21) Ветви параболы \(y = -x^2 + x - 1\) направлены вниз. Уравнение \(-x^2 + x - 1 = 0\) корней не имеет, так как \(D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = -3\), то есть \(D < 0\). Значит, парабола целиком расположена ниже оси \(x\), и неравенство \(-x^2 + x - 1 \geqslant 0\) решений не имеет.

22) Ни одна точка этой параболы не лежит выше оси \(x\), поэтому неравенство \(-x^2 + x - 1 > 0\) решений не имеет.

23) Вся парабола лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(-x^2 + x - 1 \leqslant 0\) верно при любом \(x\).

24) Вся парабола лежит ниже оси \(x\), поэтому и строгое неравенство \(-x^2 + x - 1 < 0\) верно при любом \(x\).

25) Ветви параболы \(y = x^2 - 6x + 9\) направлены вверх. Для уравнения \(x^2 - 6x + 9 = 0\) имеем \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0\), значит, у него единственный корень \(x = 3\) и парабола касается оси \(x\) в точке \(3\). Во всех остальных точках график лежит выше оси \(x\), поэтому множеством решений неравенства \(x^2 - 6x + 9 > 0\) является объединение промежутков \((-\infty;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\).

26) Та же парабола не имеет точек ниже оси \(x\), поэтому нестрогое неравенство \(x^2 - 6x + 9 \geqslant 0\) верно при любом \(x\).

27) Ни одна точка этой параболы не лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(x^2 - 6x + 9 < 0\) решений не имеет.

28) Ниже оси \(x\) точек нет, а на самой оси лежит единственная точка касания. Значит, неравенство \(x^2 - 6x + 9 \leqslant 0\) верно только при \(x = 3\).

29) Ветви параболы \(y = -x^2 + 8x - 16\) направлены вниз. Для уравнения \(-x^2 + 8x - 16 = 0\) имеем \(D = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-16) = 0\), значит, у него единственный корень \(x = 4\) и парабола касается оси \(x\) в точке \(4\). Выше оси \(x\) точек у неё нет, поэтому неравенство \(-x^2 + 8x - 16 > 0\) решений не имеет.

30) Выше оси \(x\) точек нет, а на самой оси лежит единственная точка касания. Значит, неравенство \(-x^2 + 8x - 16 \geqslant 0\) верно только при \(x = 4\).

31) Всюду, кроме точки касания, эта парабола лежит ниже оси \(x\), поэтому множеством решений неравенства \(-x^2 + 8x - 16 < 0\) является объединение промежутков \((-\infty;\ 4)\) и \((4;\ +\infty)\).

32) Точек выше оси \(x\) у этой параболы нет, поэтому нестрогое неравенство \(-x^2 + 8x - 16 \leqslant 0\) верно при любом \(x\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\); 2) \([-2;\ 3]\); 3) \([-3;\ 0{,}5]\); 4) \((-\infty;\ -3) \cup (0{,}5;\ +\infty)\); 5) \((-3;\ 5)\); 6) \((-\infty;\ -3] \cup [5;\ +\infty)\); 7) \((-\infty;\ -1] \cup [7;\ +\infty)\); 8) \((-1;\ 7)\); 9) \((-\infty;\ -5) \cup (5;\ +\infty)\); 10) \((-3;\ 3)\); 11) \([-4;\ 4]\); 12) \((-\infty;\ -7] \cup [7;\ +\infty)\); 13) \([-0{,}5;\ 0]\); 14) \((-\infty;\ 0] \cup \left[\frac{1}{3};\ +\infty\right)\); 15) \((-\infty;\ 0) \cup (0{,}4;\ +\infty)\); 16) \(\left(0;\ \frac{4}{3}\right)\); 17) \(x\) — любое число; 18) \(x\) — любое число; 19) нет решений; 20) нет решений; 21) нет решений; 22) нет решений; 23) \(x\) — любое число; 24) \(x\) — любое число; 25) \((-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\); 26) \(x\) — любое число; 27) нет решений; 28) \(x = 3\); 29) нет решений; 30) \(x = 4\); 31) \((-\infty;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\); 32) \(x\) — любое число.